4-御製歷象考成後編卷三
御製歷象考成後編卷三
交食數理
交食總論
用日躔月離求實朔望
用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距求月食初虧復圓時刻【食既生光附】
求日月實徑與地徑之比例【視徑附】
求影半徑及影差
求黄道高弧交角
求月食初虧復圓併徑黄道交角【即緯差角】求白經高弧交角
求高下差
求日食食甚真時及兩心視相距
求日食初虧復圓時刻【方位附】
求日食帶食
交食總論
日月相會為朔相對為望朔而同度同道則月掩日而日為之食望而同度同道則月亢日而月為之食【朔望日月皆東西同度而南北不皆同道同道則食】顧推步之法月食猶易而日食最難以月在日下人在地面隨時隨處所見常不同也自大衍以至授時其法寖備我朝用西法推驗尤請上編言之詳矣近日西人噶西尼等益復精求立為新表其理不越乎昔人之範圍而其用意細密又有出於昔人所未及者如求實朔實望用前後二時日月實行為比例昔之用平朔平望實距弧者未之及也日月兩心相距最近為食甚兩周初切為初虧初離為復圓皆用兩經斜距為比例昔之用月距日實行者未之及也日食用圖算月之視行不與白道平行帶食日在地平視差即圓之半徑月之視距即見食之淺深昔之言視差者亦未之及也雖其數所差無多而其法實屬可取其他或因屢測而小有變更或因屢算而益求簡捷則又考驗之常規而推步所當從也各為之說如左
用日躔月離求實朔望
從來求實朔望有二法一用本日次日兩子正日月黄道實行度比例其相會之時刻為實朔相對之時刻為實望推逐月朔望用之【見下編推合朔弦望法】以巳有本年逐日之日躔月離故也一用本年首朔先求本月平朔望之時刻然後求其平行實行之差比例加減而得實朔望之時刻推交食用之【見上編朔望有平實之殊篇及下編推日食月食法】因上考往古下推將來不必逐日悉推其躔離而即可逕求其朔望故也斯二法誠不可偏廢但從前交食求平行實行之差太隂惟用初均故甚整齊簡易今求太隂初均又有諸平均之加減旣屬繁難而黄白大距又時時不同非推月離不得其凖故今交食推實朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日兩子正之日躔月離以求其實朔望之時又推本時次時兩日躔月離以比例其時刻較之舊法似為紆遠然太隂之行甚速因遲疾差之故一日之内行度時時不同且平行實行之差大者至八九度則平朔望與實朔望之相距即至十有餘時今以前後兩時相比例較之止用兩子正實行度相比例者固為精密即較之以距時為比例者亦又加詳矣
用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距
新法算書以實朔用時即為日食食甚用時以實望用時即為月食食甚時刻皆黄白同經【太隂自道度與太陽黄道度相等為黄白同經】上編以此時兩心斜距猶遠惟自白極過太陽作經圈與白道成直角太隂臨此直角之點兩心相距最近始為食甚故以白道升度差為食甚距弧以一小時月距日實行比例得時分與實朔望用時相加減方為食甚時刻【月食即食甚時刻日食為食甚用時】其法較前為加密矣【見月食五限時刻日食三限時刻篇】近日西法用日躔月離比例求實朔望是為黄道同經較之新法算書去食甚為尤遠而其求食甚之法則亦以兩心相距最近為食甚實緯以實朔望太隂距最近點之度為食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月兩經常相斜距若以太陽為不動則太隂如由斜距線行故求兩心相距最近之線不與白道成直角而與斜距線成直角其距弧變時亦不以月距日實行度為比例而以斜距度為比例較之上編為尤近焉雖度分時刻所差無多而其理更為細密圖說詳著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為中交新法算書以日心在甲月心在丙為實朔影心在甲月心在丙為實望甲乙與丙乙等是為黄白同經無另求食甚之法上編以月行至丁為食甚甲丁距緯與白道成直角較甲丙為近故丙丁為食甚距弧以月距日實行比例得時分加於丙點實朔望之時刻方為食甚時刻今用日躔月離黄道度算則以日心在甲月心在戊為實朔影心在甲月心在戊為實望甲戊距緯與黄道成直角是為黄道同經戊之去丁較丙丁為尤遠按上編之法當以甲乙黄道度求丁乙白道升度與戊乙太隂距交白道度相減餘戊丁為食甚距弧而仍以甲丁距緯為食甚兩心實相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁則日亦不在甲而顧謂甲丁為食甚兩心實相距戊丁為食甚距弧者蓋月由戊行至己則日由甲行至庚庚己與甲丁平行甲庚與辛已等庚己與甲辛等丁己與辛己甲丁與庚己皆相差無多故借甲丁為與庚己等為兩心實相距借丁己為與辛己等為日行【月食為影心行與日行等】而戊己原為月行則戊丁即為月距日之行故即以戊丁為距弧以一小時月距日實行為比例即得食甚距時也今求食甚之法以戊乙與甲乙原非平行日月兩經常相斜距己點固為直角相對之時而其相距尤近必猶在己點之後試與甲乙平行作戊壬線為黄道距等圈取一小時日實行甲癸之分截之於子取一小時月實行截白道於丑則子丑為一小時兩經斜距又與戊子平行作丑寅線與子丑平行作戊寅線則寅丑與戊子等亦為一小時日實行戊寅與子丑等亦為一小時兩經斜距戊寅丑與戊辛己為同式形月行為戊丑則日行為寅丑【與甲癸等】斜距為戊寅月行為戊己則日行為辛己【與甲庚等】斜距為戊辛是日月二道原非平行而兩經斜距則常為一線若以日心為不動將庚點合於甲則月心己點必合於辛將癸點合於甲則月心丑點必合於寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距線上行矣乃自甲點與戊寅斜距成直角作甲卯線與丑寅平行作卯辰線與甲卯平行作辰巳線則甲己與卯辰等為實朔至食甚之日實行戊辰為實朔至食甚之月實行辰巳與甲卯等即食甚兩心實相距甲卯相距之近尤近於甲辛【甲卯為股甲辛為弦股必短於弦也】是月心臨於辰點方為食甚其實行在己點後也若以日心為不動將己點合於甲則月心辰點必合於卯故戊卯為食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑邊為一小時日實行戊丑邊為一小時月實行丑角與乙角等即本時黄白交角用切線分外角法求得戊角為斜距交角差【斜距交角差者乃斜距黄道交角與黄白交角之差此本係弧線三角形因其形甚小故作直線算以從簡易】並求得戊寅邊為一小時兩經斜距次用甲戊卯三角形以丑戊寅角與丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二線皆與甲乙線平行故丑角戊角皆與乙角等】得寅戊壬角為斜距黄道交角即與卯甲戊角等【甲戊午與甲卯戊及戊卯午皆為同式三角形故寅戊壬角與卯甲戊角等】乃以半徑與甲角餘弦之比同於甲戊與甲卯之比【此亦作直線算】而得甲卯為食甚兩心實相距又以半徑與甲角正弦之比同於甲戊與戊卯之比而得戊卯為食甚距弧然後以戊寅一小時兩經斜距為一率一小時為二率戊卯食甚距弧為三率求得四率為食甚距時蓋月行為戊辰日行為卯辰斜距為戊卯戊卯辰三角形與戊寅丑三角形為同式比例也今設乙角為四度五十八分三十秒【丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆與乙角等】甲乙為實朔太隂黄道距中交前十度戊甲為太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑為一小時日實行二分二十七秒八五戊丑為一小時月實行三十二分五十六秒四六舊法用甲乙戊三角形求得甲丁兩心實相距為五十一分四十五秒九○戊丁距弧為四分三十秒三五以日月二實行相減得一小時月距日實行為三十分二十八秒六一此例食甚距時得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二與丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二為斜距黄道交角與卯甲戊角等又求得戊寅邊三十分二十九秒一九為一小時兩經斜距次用甲卯戊三角形求得甲卯兩心實相距為五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊卯距弧為四分五十二秒一三以戊寅兩經斜距比例食甚距時得九分三十四秒九四比戊丁距時遲四十三秒是為兩心相距最近之時若實朔望在交後則日由乙向甲月由乙向戊兩心以漸而遠食甚在實朔望前距時比舊為早其【法並同】
求月食初虧復圓時刻【食既生光附】
月食求初虧復圓時刻以食甚實緯為一邊併徑為一邊以實緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻【初虧減復圓加】上編言之詳矣【見月食五限時刻篇】今以弧線可作直線算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧變時則以一小時兩經斜距為比例蓋食甚兩心實相距既與斜距成直角則初虧復圓之併徑亦與斜距成勾股故仍以斜距比例時分也圖說并著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為黄白交角實望時地影心在甲月心在丙食甚時地影心在丁月心在戊戊丁為食甚兩心實相距與甲己等丙己為食甚距弧初虧時地影心在庚月心在辛辛戊為初虧至食甚之月實行庚丁為初虧至食甚之日實行與壬戊等辛壬為初虧至食甚日月兩行之斜距與癸巳等即初虧距弧【理與食甚同】庚壬卽食甚兩心實相距與甲己等庚辛為併徑與甲癸等復圓時地影心在子月心在丑戊丑為食甚至復圓之月實行丁子為食甚至復圓之日實行與戊寅等寅丑為食甚至復圓日月兩行之斜距與巳卯等即復圓距弧子寅即食甚兩心實相距與甲己等子丑為併徑與甲卯等辛壬庚癸己甲丑寅子卯巳甲為相等四股勾形若以地影心為不動以食甚影心丁點合於甲則月心戊點合於巳以初虧影心庚點合於甲則壬點合於巳而月心辛點合於癸以復圓影心子點合於甲則寅點合於巳而月心丑點合於卯初虧復圓距弧即與癸卯斜距合為一線矣故今求初虧復圓距弧即用癸己甲勾股形以己甲為勾癸甲為弦求得癸己股與巳卯等為初虧復圓距弧夫癸己與己卯二弧既皆為兩經斜距則以二弧變時亦當與斜距為比例故以一小時兩經斜距與一小時之比同於癸己或己卯初虧復圓距弧與初虧復圓距時之比也若食既生光則甲癸甲卯二線為月半徑與影半徑相減之較其法并與初虧復圓同
求日月實徑與地徑之比例【八十四】
從來算家謂日月之在天其實徑原為一定之數而視徑之大小則因距地有遠近而時時不同然所謂實徑者仍以視徑之大小距地之遠近比例而得今日月本天心之距地心數皆與舊不同則日月距地之遠近亦因之而各異且視徑之大小古今所測相差惟在分秒之間在器只争毫釐而在數已差千百則實徑究亦未有一定之數也新法算書載日實徑為地徑之五倍有餘中距日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百四十二月實徑為地徑百分之二十七強中距朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二上編仍之以推最高日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百六十二最卑日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百二十一【今監臣戴進視徑附】最高朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六最卑
朔望時月天半徑 【見日躔地半徑差篇】與地半徑之比例為一與五十【見交食日月距地與地半徑之比例篇】四又百分之賢等據西人近年所測日天半徑與地半徑之比例最高為一與二萬零九百七十五中距為一與二萬零六百二十六最卑為一與二萬零二百七十七月天半徑與地半徑之比例最高為一與六十三又百分之七十七中距為一與五十九又百分之七十八最卑為一與五十五又百分之七十九【詳本編曰躔月離地半徑差篇】又用遠鏡儀【西人默爵所製以遠鏡加衡為窺管】測得日視徑最高為三十一分四十秒中距為三十二分一十二秒最卑為三十二分四十五秒月視徑最高為二十九分二十三秒中距為三十一分二十一秒最卑為三十三分三十六秒用此數推算日實徑為地徑之九十六倍又十分之六月實徑為地徑百分之二十七小餘二六強夫月實徑與舊大致相符而日實徑差至十九倍者蓋今所測日距地數比舊原大十八倍餘則日實徑比舊大十九倍止為大十八分之一故今之日視徑亦比舊大十八分之一是則視徑之大小固各得之實測要亦合諸推算以成一家之言至於日體純陽其光恒溢於常徑之外新法算書謂周圍皆大一分今說謂大一十五秒故推日食之法必於併徑内減去太陽光分一十五秒餘與視緯相較方為受食之分而日之本徑則仍帶光分算其理固應爾也測算之法並見上編
求影半徑及影差
地影半徑之大小由於太陽距地有遠近及太隂距地有高卑故先以太陽在最高所生之大影為率求得太隂從高及卑所當地影之濶為影半徑又以太陽從高及卑所生各影小於大影之較為影差與影半徑相減乃為實影半徑上編言之詳矣【見地影半徑篇】今以三角形之理考之日月兩地半徑差相併即與日半徑影半徑相併之數等而日月地半徑差及日半徑皆推交食所必用之數且又皆由距地之高卑遠近而生故近日西法皆不用另求影半徑惟以日月兩地半徑差相加内減去日半徑餘即為實影半徑以影差已在其中也此外又有視影之說蓋以地上有蒙氣差能映小為大則太陽實徑必小於視徑實徑小則影大矣又月食時日在地下蒙氣轉蔽日光則地影視徑必尤大於實徑計其所大之分約為太隂地半徑差六十九分之一故又以此為影差與實影半徑相加為視影半徑則所謂影差者名雖同而義實異也總之算家立說古今不必相同然測驗皆期於合天而推步必歸於有據舊說謂太陽有光分能侵地影使小今說謂地周有蒙氣能障地影使大此亦極不同之致矣然最大影半徑舊為四十六分四十八秒今為四十六分五十一秒相差不過三秒最小影半徑舊為四十二分三十八秒今為三十八分二十八秒相差四分有餘蓋地影之大小固由於太陽距地之遠近及太隂距地之高卑而太隂所關為尤重查最卑太隂距地今昔相差不過百分地半徑之九十五最高太隂距地則相差至百分地半徑之五百六十一夫月之距地既因兩心差而不同則月徑與影徑遂亦因之而各異要皆據一時之所測設法推步以求合而非為臆說也圖說詳著於左如圖甲乙為地半徑甲丙為日天半
徑丙丁為日半徑從丁切乙作光線與丙甲線交於戊甲戊為地影之長
甲己為月天半徑庚己辛為月行所當地影之濶己甲辛角為影半徑分【詳上編地影半徑篇】試觀甲丁辛三角形丁辛
二内角與壬甲辛一外角等而丁角即太陽地半徑差辛角即太隂地半徑差【甲丁線畧與甲丙日天半徑等甲辛線畧與甲巳月天半徑等而其角皆與甲乙地半徑相當故其角即為地半徑差角】壬甲巳角與丙甲丁角為對角即日半徑故以丁角太陽地半徑差與辛角太隂
地半徑差相加即得壬甲辛角内減日半徑壬甲己角餘己甲辛角即實影半徑蓋日月地半徑差及日半徑
既因日月距地之高卑遠近而時時不同故所得影半徑即為本時之實影半徑不復有影差也又蒙氣映小
為大丙丁為太陽視半徑丙癸為太陽實半徑從癸切乙作光線與丙甲線交於子則月行所當地影半徑為己丑而己丑之分必大於己辛且地球外蒙氣之厚如乙寅從丁切寅作光線與丙甲線交於卯則月行所當
地影半徑為己辰而己辰之分必尤大於己辛矣此辛辰之分當辛甲辰角約為甲辛乙角六十九分之一故又以此為影差與實影半徑己甲辛角相加得己甲辰角為視影半徑也
求黄道高弧交角
求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上編月食方位求交角之法與日食三差之求交角者微有不同而畧為簡易蓋各圈相交皆成弧線三角形轉換相求法可相通而理實一致彼此互相發也近日西法又以黄道赤經交角與赤經高弧交角相加減而得黄道高弧交角用以求月食方位繁簡大槪相同而用以求日食三差則甚為省便蓋黄道隨天西轉其象時時不同而黄道赤經交角無異不須逐時推算也因著其法於左
如圖甲為天頂甲乙丙為
子午圈乙丙為地平丁為
赤極戊己庚為赤道辛為
黄極壬癸子丑為黄道己
為春分丑為黄道交西地
平之點壬為黄平象限距
丑九十度癸為正午壬癸
為黄平象限距正午之度
壬寅為黄平象限距地平
之度即丑角度子為太隂
實行經度【日食即為太陽經度月食為太
陽對衝地影之經度】子已為太隂距
春分後之經度子壬為太
隂距黄平象限之度甲子
卯為高弧丁子辰為赤道
經圈辰巳為赤道同升度
戊辰為太陰距正午赤道
度【日食即太陽距午正赤道度月食為太陽距子
正赤道度】丑子卯角為黄道高
弧交角求之之法先用戊
己弧求癸己癸戊二弧及
癸角次求癸丑弧及丑角
以求子角者日食三差之
法也先用己庚弧求己丑
弧及丑角以求子角者月
食方位之法也今按己子
辰角即黄道赤經交角甲子
丁角與辰子卯角為對角即
赤經高弧交角兩角相減即
得丑子卯黄道高弧交角夫
黄道交地平之丑角時時不
同而己子辰黄道赤經交角
則初虧與復圓無異然則先
求得黄道赤經交角至求黄
道高弧交角則惟求一赤經
高弧交角與之加減而己其
加減之法以太陰在夏至前
後各六宫與距正午之東西
為定試以甲為天頂作乙庚
丙己地平圈乙甲丙為子午
經圈庚甲己為東西經圈庚
戊己為赤道丑己未為黄道
己為春分
當黄平象限丑為冬至當西
地平未為夏至當東地平是
為夏至前六宫在地平上癸
為黄道當正午之度己癸為
黄平象限距午東之度設太
隂子點在正午之西甲子卯
為高弧丁辰子為過赤極經
圈己子辰角為黄道赤經交
角甲子丁角為赤經高弧交
角丑子卯角為黄道高弧交
角與甲子癸角等是以甲子
丁赤經高弧交角與己子辰
黄道赤經交角相減餘甲子
癸角即黄道高弧交角也設
太隂申點在正午之東甲申
酉為高弧丁申戌為過赤極
經圈巳申
戌角為黄道赤經交角與丁
申未角等甲申丁角為赤經
高弧交角酉申未角為黄道
高弧交角乃甲申未角之外
角是以甲申丁赤經高弧交
角與丁申未黄道赤經交角
相加得甲申未角與半周相
減餘酉申未角即黄道高弧
交角也若己為秋分當黄平
象限未為夏至當西地平丑
為冬至當東地平是為夏至
後六宫在地平上癸為黄道
當正午之度己癸為黄平象
限距午西之度設太隂子點
在正午之西甲子卯為高弧
丁子辰為過赤極經圈己子
辰角為黄
道赤經交角與丁子未角等
甲子丁角為赤經高弧交角
卯子未角為黄道高弧交角
乃甲子未角之外角是以甲
子丁赤經高弧交角與丁子
未黄道赤經交角相加得甲
子未角與半周相減餘卯子
未角即黄道高弧交角也設
太隂申點在正午之東甲申
酉為高弧丁戌申為過赤極
經圈己申戌角為黄道赤經
交角甲申丁角為赤經高弧
交角丑申酉角為黄道高弧
交角與甲申癸角等是以甲
申丁赤經高弧交角與己申
戌黄道赤經交角相減餘甲
申癸角即
黄道高弧交角也此太隂在
午東而亦在限東太隂在午
西而亦在限西之常法也若
太隂在夏至前六宫而在正
午之東如乾以己乾亥黄道
赤經交角與甲乾丁赤經高
弧交角相加得己乾甲角不
足九十度與酉乾丑角等則
不與半周相減即以酉乾丑
角為黄道高弧交角乃知太
隂乾點在黄平象限巳點之
西也蓋惟正當黄平象限高
弧與黄道成直角在限西者
則高弧與限西之黄道成銳
角在限東者則高弧與限東
之黄道成銳角今己乾甲角
既不及九
十度故知乾點在黄平象
限己點之西而乾酉高弧
乃與限西之乾丑黄道相
交成銳角也太隂在午西
而在限東者倣此【左圖以二至當
地平乃黄平象限偏午東午西之極大者如二分當
地平則黄平象限當正午加減之法並同】至求
赤經高弧交角之法則以
北極距天頂為一邊影距
北極為一邊影距正午赤
道度【日食則為日距正午赤道度】為所
夾之角用弧三角法算之
如太隂在申甲申丁三角
形申角為赤經高弧交角
甲丁為北極距天頂申丁
為影距北極丁角當戊戌
弧為影距正午赤道度因
丁角為銳角則自天頂甲
作甲坎垂弧於形内使坎角
成直角求得甲坎丁坎二邊
以丁坎與丁申相減即得坎
申邊用之與甲坎邊求申角
也如太隂在艮甲丁艮角當
戊己弧適足九十度成直角
則甲丁即為垂弧即用甲丁
艮正弧三角形以求艮角也
如太隂在震甲丁震角當戊
巽弧過於九十度成鈍角則
自天頂甲作甲離垂弧於形
外使離角成直角求得甲離
離丁二邊以離丁與丁震相
加即得離震邊用之與甲離
邊求震角也又如黄道在天
頂北太隂在坤甲坤丁赤經
高弧交角
大於九十度則自天頂甲作
垂弧至兌而所求之丁兌距
極分邊反大於丁坤影距北
極則以坤兌甲兌二邊求坤
角之外角即知甲坤丁角為
鈍角也若所求距極分邊與
影距北極等即知赤經高弧
交角為直角不待求也至於
赤經高弧交角有與黄道赤
經交角相等者亦有與黄道
赤經交角共為一百八十度
者有反大于黄道赤經交角
而不足減者亦有與黄道赤
經交角相加大于半周而又
減去半周者如北極出地二
十三度二十九分以下夏至
前後黄道
正當天頂太隂子點在夏至
未點之前而在正午之西當
以赤經高弧交角與黄道赤
經交角相減為黄道高弧交
角今甲子丁赤經高弧交角
與己子辰黄道赤經交角相
等兩角相減無餘即知黄道
與高弧合無交角也又如太
隂申點在夏至未點之前而
在正午之東當以赤經高弧
交角與黄道赤經交角相加
為黄道高弧交角今甲申丁
赤經高弧交角與巳申戌黄
道赤經交角相加共一百八
十度亦如黄道與高弧合無
交角也又如北極出地在二
十三度以
下夏至前後黄道在天頂北
太隂子點在夏至未點之前
而在正午之西當於黄道赤
經交角内減赤經高弧交角
為黄道高弧交角今甲子丁
赤經高弧交角與辰子卯角
等反大於巳子辰黄道赤經
交角則於辰子卯赤經高弧
交角内反減巳子辰黄道赤
經交角餘巳子卯角為黄道
高弧交角即知黄平象限在
天頂北也又如太隂申點在
夏至未點之前而在正午之
東當以赤經高弧交角與黄
道赤經交角相加為黄道高
弧交角今甲申丁赤經高弧
交角與戌
申酉角等與巳申戌黄道赤
經交角相加大於一百八十
度則減去巳申戌角及戌申
未角共一百八十度餘未申
酉角為黄道高弧交角亦如
黄平象限在天頂北也總之
黄道出入於赤道之内外隨
天左旋其高低斜正旣隨時
不同又以人所居之南北異
地改觀益多變換然定之以
數自無遁形或從地平立算
或從子午圈立算或從赤道
經圈立算法雖不同理實一
致合而觀之益見弧線三角
之用至通變矣
求月食初虧復圓併徑黄道交角【即緯差角】
定月食方位月當黄道無距緯即用黄道高弧交角為定交角若月在交前後有距緯則又求緯差角與黄道高弧交角相加減為定交角上編言之詳矣【見月食方位篇】然求緯差角之法必先用初虧復圓交周各求距緯今初虧復圓距弧皆斜距之度須復以斜距與白道為比例方得交周頗為費算且前已有斜距黄道交角與九十度相加減即黄道交實緯角則求得併徑交實緯角與之相減餘併徑交黄道之角即緯差角甚為簡便故質名之曰併徑黄道交角至其與黄道高弧交角相加減之法並同上編兹不復載如圖甲乙為黄道丙乙為白道丙丁為黄道距等圈戊己為日月兩經斜距甲為地影心食甚時月心在庚初虧時月心在戊復圓時月心在己戊甲辛角為初虧併徑黄道交角即初虧緯差角己甲乙角為復圓併徑黄道交角即復圓緯差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角與庚丙丁角等】與九十度相加得庚甲辛角為初虧黄道交食甚實緯角【甲庚為食甚兩心相距不係經圈以其為南北之度故借名實緯】以丙甲庚斜距黄道交角與九十度相減餘庚甲乙角為復圓黄道交食甚實緯角【此論在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊為初虧己為復圓若在交後地影由乙向甲月由乙向丙則己為初虧其角與九十度相減戊為復圓其角與九十度相加】次求得庚甲戊角與庚甲己角等為併徑交食甚實緯角初虧則與庚甲辛角相減餘戊甲辛角即初虧併徑黄道交角復圓則與庚甲乙角相減餘己甲乙角即復圓併徑黄道交角也乃視併徑交實緯角小於黄道交實緯角則初虧復圓在黄道之南北與食甚同若併徑交實緯角轉大於黄道交實緯角則南北與食甚相反蓋太隂近交初虧復圓一在交前一在交後則距緯之南北必變如乙為中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚為食甚實緯在黄道北初虧庚甲壬併徑交實緯角小於庚甲辛黄道交實緯角則初虧亦為緯北與食甚同復圓庚甲癸併徑交實緯角大於庚甲乙黄道交實緯角則復圓變為緯南與食甚相反也食甚實緯在黄道南及食甚在交後者皆倣此旣知初虧復圓併徑黄道交角及其在黄道之南北則與黄道高弧交角相加減為定交角其理并與上編同
求白經高弧交角
日食三差之法以黄白二道交角與黄道高弧交角相加減得白道高弧交角白道與高弧及白道經圈相交成正弧三角形直角對高下差交角對南北差餘角對東西差上編言之詳矣今以黄赤二經交角加減黄白二經交角得赤白二經交角與赤經高弧交角相加減得白經高弧交角對東西差餘角對南北差蓋白道與白道經圈相交其角必九十度白經高弧交角即白道高弧交角之餘【凡弧角與九十度相減所餘為餘餘角】是用白經高弧交角與用白道高弧交角等且以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加減得黄道高弧交角【見前篇】又加減黄白二道交角為白道高弧交角須加減二次而黄赤二經交角即黄道赤經交角之餘交食時日必近交黄白二經交角又即與黄白二道交角等故以黄赤二經交角與黄白二經交角相加減得赤白二經交角則為初虧食甚復圓同用之數至求三限白經高弧交角止與赤經高弧交角一加減而得之其法尤為省便也二經交角加減之法以黄道之二至白道之二交為定蓋惟冬夏二至黄經與赤經合無交角冬至後黄道自南而北黄經必在赤經西夏至後黄道自北而南黄經必在赤經東交周初宫十一宫在正交前後白道自南而北白經必在黄經西【猶黄道冬至後】交周五宫六宫在中交前後白道自北而南白經必在黄經東【猶黄道夏至後】乃視黄經在赤經西白經又在黄經西或黄經在赤經東白經又在黄經東則相加得赤白二經交角東仍為東西仍為西若黄經在赤經西而白經在黄經東或黄經在赤經東而白經在黄經西則相減得赤白二經交角黄赤二經交角大則從黄經之向黄白二經交角大則從白經之向若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角也其與赤經高弧交角加減之法則以日距正午之東西為定蓋惟日當正午則赤經與高弧合無交角午前赤經必在高弧東午後赤經必在高弧西乃視赤經在高弧西白經又在赤經西或赤經在高弧東白經又在赤經東則相加得白經高弧交角午東亦為限東午西亦為限西若赤經在高弧東而白經在赤經西或赤經在高弧西而白經在赤經東則相減為白經高弧交角赤白交角小則午東仍為限東午西仍為限西赤白交角大則午東變為限西午西變為限東若兩角相等而減盡無餘則白經與高弧合無交角即知太陽正當白平象限上若兩角相加適足九十度則白道在天頂與高弧合若兩角相加過九十度則與半周相減用其餘即知白平象限在天頂北也是法也不用求黄道高弧交角而逕求白經高弧交角入算甚簡而理亦無遺新法用簡平儀繪圖尤為明顯列圖如左
如圖甲為天頂乙丙丁戊
為地平圈丙己戊為赤道
庚己辛為黄道己為春分
庚為冬至辛為夏至癸為
赤極【即北極】壬為黄極庚壬
癸辛為過二至經圈即過
二極經圈冬至日行在庚
黄赤二經合為一線無交
角冬至後日行自南而北黄
經必在赤經西漸遠則角漸
大至春分而止如日行在子
壬子黄經在癸子赤經西壬
子癸角為黄赤二經交角即
癸子己黄道赤經交角之餘
春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄經在癸己赤經西壬
己癸角為黄赤二經交角與
戊己辛二道交角等是為最
大過此又漸小【壬己辛角戊己癸角
皆九十度】夏至日行在辛則黄
赤二經又合為一線無交角
夏至後日行自北而南黄經
必在赤經東漸遠則角又漸
大至秋分而止如日行在丑
壬丑黄經在癸丑己子壬角
九十度壬己辛角戊己癸角
赤經東壬丑癸角為黄赤
二經交角即癸丑辛黄道
赤經交角之餘【癸丑辛角與寅丑卯
角等】秋分日行在寅壬寅黄
經在癸寅赤經東壬寅癸
角為黄赤二經交角與丙
寅辛二道交角等過此又
漸小至冬至乃復合為一
線也至白道之交於黄道
亦如黄道之交於赤道但
其行度自正交起算交食
時日月又必近交故其南
北東西及兩經交角惟以
兩交為定設白極在辰正
交在午白道自南而北【猶黄
道之春分】日行在正交點如午
或正交前如子正交後如
巳白經皆在黄經西黄白
二經交角皆與黄白二道
交角為相等【惟日在正交午點其壬午
辰黄白二經交角與庚午未黄白二道交角等若在
交前如子交後如巳其壬子辰與壬巳辰黄白二經
交角皆微小於二道交角然所差無多故為相等與
上編捷法同】此黄經在赤經西
白經又在黄經西則以黄
白二經交角與黄赤二經
交角相加為赤白二經交
角也設白極在申中交在
酉白道自北而南【猶黄道之秋分】日行在中交點如酉或中
交前如子中交後如已白
經皆在黄經東黄白二經
交角亦與黄白二道交角
為相等此黄經在赤經西
而白經在黄經東則以黄
白二經交角與黄赤二經
交角相減為赤白二經交
角黄赤二經交角大則從
黄經之向白經亦在赤經
西也設黄經在赤經西而
中交近二至經圈如戌亥
戌白經在壬戌黄經東壬
戌亥黄白二經交角反大
於壬戌癸黄赤二經交角
相減餘癸戌亥角為赤白
二經交角則從白經之向
白經轉在赤經東也旣得
赤白二經交角是為初虧
食甚復圓同用之數【初虧至復
圓太陽行度無幾故二經交角不改】隨時求
得赤經高弧交角與之加
減即得各時白經高弧交
角如日行在子是為午後
甲子癸角為赤經高弧交
角辰子癸角為赤白二經交
角此赤經在高弧西白經又
在赤經西則相加得辰子甲
角為白經高弧交角白經更
在高弧西是知太陽在白平
象限西也又如日行在己是
為午前甲己癸角為赤經高
弧交角辰己癸角為赤白二
經交角此赤經在高弧東白
經在赤經西則相減餘甲己
辰角為白經高弧交角赤白
二經交角大白經為在高弧
西是知太陽雖在午東而却
在白平象限西也蓋惟太陽
正當白平象限則白道經圈
過天頂與高弧合為一線限
東者白經
必在高弧東限西者白經必
在高弧西是定白經之東西
與白平象限一理也又與白
道平行作乾坎線則辰子坎
角為九十度甲子坎角為白
道高弧交角與乾子艮角等
甲子辰白經高弧交角即甲
子坎角之餘是用白經高弧
交角與用白道高弧交角一
理也又如癸丁北極出地二
十八度赤道距天頂之甲震
弧亦二十八度春分巳點在
午西夏至前巽點當正午震
巽距赤道北二十三度餘正
交在離巽甲距黄道北又四
度餘則白道在天頂與高弧
合日行在
離甲離癸赤經高弧交角與
癸離坤赤白二經交角相加
得甲離坤白經高弧交角適
足九十度蓋白經與白道相
交其角必九十度白道既與
高弧合故白經高弧交角亦
九十度也過此以往北極愈
低則白道極北入地平下南
出地平上白道即在天頂北
白經高弧交角即大於九十
度而成鈍角則與半周相減
餘為白道南之經圈與高弧
相交之角是不求限距地高
而白平象限在天頂之南北
俱以白經高弧交角為定也
白經在赤經東者倣此
求高下差
高下差者日月高下之視差也日食食甚用時乃從地心立算人在地面視之則有地半徑差而太陽地半徑差恒小太隂地半徑差恒大故於太隂地半徑差内減去太陽地半徑差始為高下差焉【見上編日食三差及日月地半徑差篇】如日月實高本係同度而太陽以地半徑差之故視高比實高低五秒太隂以地半徑差之故視高比實高低三十分則人之視太隂必比太陽低二十九分五十五秒也然求兩地半徑差而後相減其法甚繁今按半徑一千萬與日月距天頂正弦之比既皆同於地平地半徑差與本時地半徑差之比【見本編日躔地半徑差篇】而全與全之比又原同於較與較之比則以半徑一千萬與日距天頂之正弦之比【交食時日月高弧畧相等故即以日高弧為月高弧】必亦同於地平高下差與本時高下差之比矣故今求高下差唯以本時太隂距地數求得太隂地平地半徑差内減太陽地平地半徑差十秒餘為地平高下差初虧食甚復圓各以其時日距天頂之正弦為比例其法甚為省便也
如圖甲為地心乙為地面丙
丁為日天戊己為月天假如
日在庚實距天頂為丙甲庚
角視距天頂為丙乙庚角與
丙甲丁角等其差庚甲丁角
即地平太陽地半徑差與甲
庚乙角等甲乙地半徑即其
角之正弦與庚辛等又如日
在壬實高為壬甲丁角視高
為壬乙庚角與癸甲丁角等
其差壬甲癸角即本時太陽
地半徑差與甲壬乙角等將
壬乙線引長作甲子垂線即
其角之正弦與壬丑等甲乙
子勾股形子角為直角乙角
與丙乙壬角為對角即太陽
視距天頂
之度甲乙即地平太陽地半
徑差之正弦甲子即本時太
陽地半徑差之正弦因其邊
度甚小正弦與弧線可以相
為比例則甲乙即為地平太
陽地半徑差與庚丁弧等甲
子即為本時太陽地半徑差
與壬癸弧等故以子直角正
弦與乙角正弦之比即同於
地平太陽地半徑差甲乙與
本時太陽地半徑差甲子之
比也假如太隂在寅實距天
頂為寅甲戊角視距天頂為
寅乙戊角與已甲戊角等其
差寅甲巳角即地平太隂地
半徑差與甲寅乙角等甲乙
地半徑亦
其角之正弦【甲乙同為地半徑甲庚日
天半徑大故角小甲寅月天半徑小故角大】與
寅卯等又如月在辰實高為
辰甲己角視高為辰乙寅角
與巳甲己角等其差辰甲巳
角即本時太隂地半徑差與
甲辰子角等甲子亦其角之
正弦與辰午等因以正弦作
弧度則甲乙即地平太隂地
半徑差與寅己弦等甲子即
本時太隂地半徑差與辰巳
弧等故以子直角正弦與乙
角太隂視距天頂正弦之比
亦同於地平太隂地半徑差
甲乙與本時太隂地半徑差
甲子之比也試以日天半徑
與月天半徑為甲乙同為地
半徑甲庚日天半徑大故角
相等而比較之【日天月天半徑不等
故地半徑雖等而差角不等今以日天半徑與月天
為相等則差角之不等者其正弦亦不等乃可相較
也】自地平太陽實高線割
月天之未點與乙庚視高
線平行作未申線則甲未
申角與甲庚乙角等甲申
即地平太陽地半徑差【甲申
本係甲未申角之正弦因以正弦作弧度則甲申正
弦與未已弧等而月天之未已弧與日天之庚丁弧
同當庚甲丁角其度相等故甲申即為地平太陽地
半徑差】與甲乙地平太隂地
半徑差相減餘申乙即地
平高下差【甲乙當寅已弧甲申當未巳弧
乙申當寅未弧】自本時太陽實高
線割月天之酉點與乙壬
視高線平行作酉申線引
長至戌則甲酉戌角與甲
壬乙角等甲戌即本時太
陽地半徑差與甲子本時
太隂地半徑差相減餘戌
子即本時高下差與申亥
等【甲子當辰巳弧甲戌當酉巳弧子戌當辰酉弧】申乙亥與甲乙子為同式
形故以亥直角正弦與乙
角日距天頂正弦之比亦
即同於地平高下差申乙
與本時高下差申亥之比
也
右求高下差以半徑與太
陽視距天頂之正弦為比
例今日食所推太陽高弧
乃實距天頂之度而即以
其正弦比例高下差者蓋
實高與視高所差無多故
借用之自來實高視高相
求皆同一地半徑差加減互
用不列二表也如細辨之地
平太陽實高在丁太隂實高
在已丁乙庚角為地平太陽
地半徑差與甲丁乙角等甲
乙地半徑為其角之切線當
庚丁弧巳乙辛角為地平太
隂地半徑差與甲己乙角等
亦以甲乙地半徑為其角之
切線當辛巳弧前以地半徑
為其角之正弦此以地半徑
為其角之切線其角度雖有
微差然最大者不過半秒愈
高則愈小故亦以弧度為比
例而甲乙即為地平太陽地
半徑差亦即為地平太隂地
半徑差也
本時太陽實高在壬太隂在
癸壬乙子角為本時太陽地
半徑差與甲壬乙角等乙丑
為其角之垂線當子壬弧癸
乙寅角為本時太隂地半徑
差與甲癸乙角等亦以乙丑
為其角之垂線當寅癸弧丑
壬之長小於甲壬丑癸之長
小於甲癸則角度必較弧度
為稍大蓋視高低於實高其
大固宜然所差甚微故亦以
弧度為比例而乙丑即為本
時太陽地半徑差亦即為本
時太隂地半徑差也試自地
平太陽視高線割月天之卯
點與甲丁實高線平行作卯
辰線則乙
卯辰角與甲丁乙角等乙辰
當辛卯弧即地平太陽地半
徑差以乙辰與地平太隂地
半徑差甲乙相減餘甲辰當
卯已弧即地平高下差自本
時太陽視高線割月天之巳
點與甲壬實高線平行作巳
辰線則乙巳辰角與甲壬乙
角等乙午當寅巳弧即本時
太陽地半徑差以乙午與本
時太隂地半徑差乙丑相減
餘午丑與辰未等當巳癸弧
即本時高下差甲乙丑與甲
辰未為同式形丑未二角為
直角甲角為日月實距天頂
之度故以直角正弦與實距
天頂正弦
之比同於地平地半徑差甲
乙與本時地半徑差乙丑之
比亦同於地平高下差甲辰
與本時高下差辰未之比也
今日食用簡平儀法求地面
日影心之所在皆用實高比
例高下差設日實高在丁則
正射地心照至地面酉點之
影當月天巳點之度照至地
面乙點之影當月天卯點之
度是酉乙地面上應日天實
距天頂之丙丁弧而其當月
天之度則為卯巳高下差也
設日實高在壬則正射地心
照至地面申點之影當月天
癸點之度照至地面乙點之
影當月天
巳點之度是乙申地面上
應日天實距天頂之丙壬
弧而其當月天之度則為
巳癸高下差也若以地平
高下差為半徑作地面平
圓則甲乙即卯巳之度為
地平 【等】高下差當乙酉地
【以地球為平面則地面之弧與正弦等甲乙為乙酉
弧之正弦故甲乙當乙酉弧】面與日天
之丙丁弧等乙丑即巳癸
之度為本時高下差當乙
申地【乙丑為乙申弧之正弦故乙丑當乙申弧】面與日天之丙壬弧等由
此推之時時實距天頂之
度在地面皆與本時高下
差【實距天頂之度原與地面之弧度等簡平儀以
地球為平面則地面之弧又與地面之正弦等今地
面之正弦既為高下差故實距天頂之度即與高下
差等】故隨高弧之所向以高下
差之度自圓心取之即日影
心之所在隨白經之所向以
實緯之度自圓心取之即月
影心之所在此所以用實高
為比例於視差之理尤為顯
而易明也差等
求日食食甚真時及兩心視相距
日食求食甚真時及食甚視緯新法算書用渾天儀法以食甚用時之東西差與食甚近時之東西差相較得視行以用時之東西差比例得時分與食甚用時相加減【限西加限東減】而得食甚真時以真時之南北差與食甚實緯相加減【白平象限在天頂南緯南則加緯北則減白平象限在天頂北緯南則減緯北則加】而得食甚視緯上編言之詳矣【見日食三限時刻及求食甚真時食甚視緯篇】然其求真時也必求太隂視行正當實緯之度乃以視行之道與白道為平行故與實緯成直角而視緯與實緯必合為一線也夫近時之東西差與用時之東西差既不等【因白道高弧交角及高下差不同之故】則南北差亦不等而視行即不與白道平行視行既不與白道平行則實緯即不與視行成直角而日月兩心相距最近之線亦不與實緯合為一線矣近日西法用簡平儀繪圖算【渾儀從上視如觀平面是為簡平儀】以本日地平高下差【本日地平日月兩地半徑差相減餘為本日地平高下差】為半徑作平圓【即地徑當月天之度】即地受日照之半面上應渾天半周圓心即日射地面至地心之點以人視日則人所處之地面即日影心以日照月則月所當之地面即月影心假令人所處之地面正在圓心則必見日當天頂又正當子午圈而月之實緯即日月兩心視相距外此則日影心之所在隨時隨地不同若日影心與月影心同點則必見日全食若日影心與月影心之相距大於併徑則不見食故先以食甚用時求其兩心視相距復設一時【限西向後設限東向前設】亦求其兩心視相距以此兩視距線及所夾之角求其對邊為視行自日影心至視行作垂線與視行成直角是為兩心相距最近之處月影心臨此直角之點即為食甚真時因垂線不與實緯合故不曰視緯而曰兩心視相距然後以所得真時復考其兩心視相距果與所求垂線合則食甚真時即為定真時不然則又作垂線求之蓋太隂視差時時不同其視行之道既不與白道平行又不能自成直線其兩心視相距最近之線不與白道成直角而與視行成直角【兩心實相距不與白道成直角而與斜距成直角兩心視相距又不與斜距成直角而與視行成直角今法與舊法之不同在此】故反覆推求務得太隂正當視行直角之點斯為兩心最近之處而食甚乃為確凖也是法也可以圖代算可以一圖而知各地見食之不同新奇精巧與舊法迥殊然其理無不可以相通蓋舊法以渾測渾可實指其東西南北之差而視行之法甚簡新法寫渾於平可實稽其實距視距之異而視差之理尤精今以新法合舊名義參觀而詳解之則理之確者以並觀而並明法之奇者因相較而益顯庶觀者由舊徑以適新途不致有捍格之勢而算者取新規以合舊範更坐收密合之方矣
如雍正八年庚戌六月戊
戌朔日食太隂實引初宫
八度四十七分三十一秒
四○地平地半徑差五十
三分五十九秒九○内減
太陽地平地半徑差十秒
餘五十三分四十九秒九
○為本日地平高下差以
此為乾坎半徑作坎艮震
巽平圓【以五十三分作五寸三分以四十九
秒九○通作八釐三毫繪圖用四分之一後倣此】即地球受日照之半面上
應渾天半周而其當月天
之度則為五十三分五十
秒【四十九秒九○進為五十秒入算仍用小餘他
倣此】故以地球上應渾天之
度而論則乾為日照地面
之正中距圓界各九十度
【以地球為平面則地面之弧與正弦等半徑為九十
度之正弦故半徑即九十度】假令人在
圓心乾則見日當天頂又
當正午坎震赤道徑圈即
其地之子午圈艮巽即其
地之卯酉圈坎為北震為
南艮為東巽為西若人在
圓界則見日當地平在坎
震線之西者見日為午前
在坎震線之東者見日為午
後自是以外則見日之高下
隨地不同要以人所處之地
面為日影心上應本處天頂
人距日照地面正中之度即
日距天頂之度而以地面所
當月天之度而論則地之半
徑與地平高下差等人距日
照地面正中之度與本時高
下差等故隨高弧之所向以
本時【見前高下差篇】高下差之度
自圓心取之即人所處之地
面亦即本時之日影心隨白
經之所向以月實緯之度自
圓心取之即本時之月影心
夫月影心當月天之度即太
隂之實緯度見前高下差篇
而日影心當月天之度不
為太陽之實高度而為太
陽之視高度則地面日月
兩影心之相距因高下差
而殊而食甚之早晚食分
之淺深所以因視差而變
者皆可按圖而稽矣乃以
本時日距赤道北二十一
度三十八分一十二秒○
二取艮離巽坤之分【即離乾艮
角與坤乾巽角等】作離坤線截赤
道經圈於兌作艮兌巽弧
為赤道則兌乾即日距赤
道北之緯度又作甲乾乙
弧為赤道距等圈即太陽
隨天西轉之軌又以坎艮
九十度之分自離截圓界
於丁自坤截圓界於丙作
丙丁線截子午圈於戊則
戊點為北極戊兌為九十
度戊乾為日距北極六十
八度二十一分四十七秒
九八又以本時黄赤二經
交角九度二十一分二十
秒五七取坎乾己角【本時日在
夏至後黄經在赤經東故向東取】作己庚
線為黄道經圈自乾與己
庚線取直角作辛乾線為
黄道辛為秋分乾辛為日
距秋分前六十七度四十
二分五十四秒四三是時
京師食甚用時為午正二
刻九分五十八秒九五日
距午西赤道度為九度五
十九分四十四秒二五則
京師地面必在坎震線之
東故以用時赤經高弧交
角二十二度四十三分八
秒三九取戊乾壬角以用
時日距天頂二十度九分
四十八秒二七之高下差
一十八分三十三秒三四
取壬乾之分作壬乾線自
戊向壬作戊壬癸弧則壬
點為京師之地面即用時
之日影心上應京師天頂
壬乾為用時日距天頂之
高弧在地則與用時高下
差等戊壬癸為京師子午
圈戊壬為京師北極距天
頂五十度五分戊角為用
時日距午西赤道度【戊乾壬角
及乾壬弧俱用戊乾壬三角形求之而得】又以
斜距黄道交角五度四十
四分五十五秒二九取已乾
子角作【白二經交角本時月在中交前白經
在黄經】丑寅線為白道經圈
以【東故向東取】月實緯距黄道
北二十三分二十八秒四五
自乾向北截之於子與丑寅
線取直角作卯辰線為白道
則子點為【即斜距經圈】用時月
影心壬子即用時日月兩影
心視相距乃用乾壬子三角
形乾子為食甚用時日月兩
心實相距乾壬為用時高下
差以己乾丑黄白二經交角
與坎乾己黄赤二經交角相
加得坎乾丑角一十五度六
分一十五秒八六為赤白二
經交角本時【即兩經斜距】月在中交前【黄經在赤經東白經又在】
【未初初刻為設】與坎乾壬赤經高
弧交角相減餘丑乾壬角
七度三十六分五十二秒
五三為用時白經高弧交
角即用時對兩心視相距
角【時黄經東故相加赤經在高弧西白經在赤經
東故相減赤白交角小】用切線分外
角法求得壬角一百四十
六度三十四分二秒○七
為用時對兩心實相距角
又求得壬子邊五分三十
八秒七四為用時日月兩
影心視相距此時白經實
距在高弧西月影心必在
日影心之西則食甚用時
尚在食甚前也次向後取
【白經仍在高弧西白經在高弧西
月影心差而西用時尚在食甚前故向後設若白經
在高弧東月影心差而東用時已過食甚後則向前
設】以設時赤經高弧交角
三十一度三十三分一秒
七三取戊乾己角以設時
日距天頂二十二度一十
七分四十二秒二六之高
下差二十分二十五秒三
五取乾己之分作乾己線
自戊向已作戊己弧則己
點為設時日影心乾己為
設時日距天頂之高弧在
地則與設時高下差等戊
己即京師北極距天頂五
十度五分與戊壬等【太陽本隨
距等圈西轉今以太陽為不動則影向東移亦與赤
道成距等圈其距北極皆相等】己戊乾角
即設時日距午西一十五
度【戊乾己角及乾巳弧俱用戊乾巳三角形求之
而得】次以設時距用時二十分
一秒○五與一小時兩經斜
距二十七分一十六秒五六
為比例得用時至設時之月
實行為九分六秒自子向東
截之於午則午點為設時月
影心午子為設時距弧午乾
子角為設時【月由白道東行設時在用
時後故距弧向東取】對距弧角二十
一度一十一分二十秒九九
午乾為設時兩心實相距二
十五分一十秒五八己午為
設時日月兩影心視【午乾子角及午
乾弧俱用午乾子三角形求之而得】相距乃
用己乾午三角形以坎乾己
設時赤經高弧交角與坎乾
丑赤白二經交角而得月由
白道東行設時在用時後故
相減餘丑乾己角一十六
度二十六分四十五秒八
七為設時白經高弧交角
【加減之理與用時白經高弧交角同】與午乾
子對距弧角相減餘巳乾
午角四度四十四度三十
五秒一二即設時對兩心
視相距角【月在黄道北白經在高弧西對
距弧角大則實距在高弧東對距弧角小則實距在
高弧西白經在高弧東者倣此】用切線分
外角法求得巳角一百五
十五度五十七分四十六
秒四○為設時對兩心實
相距角又求得己午邊五
分六秒六五為設時兩心
視相距此時實距在高弧
東月影心必在日影心之
東則設時巳過食甚後而
食甚真時之月實行必在子
午二點之間矣於是與巳午
線平行作壬未線與巳午等
為設時兩心視相距又與巳
乾平行作壬申線為設時高
弧則未壬申角與午巳乾角
等以丑乾壬用時白經高弧
交角與丑乾巳設時白徑高
弧交角相減餘壬乾巳角八
度四十九分五十三秒三四
為兩白經高弧交角較與乾
壬申角等與乾壬子用時對
兩心實相距角相減餘申壬
子角一百三十七度四十四
分八秒七三為設時高弧交
用時視距角與未壬申角相
加未壬申角與午【角相加未壬申角與午】
【巳乾角等即對設時兩心實相距角】得二百
九十三度四十一分五十
五秒一三與三百六十度
相減餘未壬子角六十六
度一十八分四秒八七為
對設時視行角【用時實距在高弧西
設時實距在高弧東兩角與高弧相背故相加若同
在高弧之一邊則相減又用時設時兩月影心俱在
日影心之北兩角與兩視距相背俱為鈍角故相加
即過一百八十度與全周相減方為兩視距所夾之
角】乃用未壬子三角形壬
子為用時兩心視相距壬
未為設時兩心視相距未
壬子角為所夾之角用切
線分外角法求得子角五
十二度二十九分四十五
秒六九為對設時視距角
又求得子未邊五分五十
三秒九五為設時視行次
自壬作壬酉垂線與子未
視行成直角則壬酉相距
為最近故用壬子酉直角
形求得子酉分邊三分二
十六秒二三為真時視行
以子未設時視行與設時
距分二十分一秒○五之
比即同於子酉真時視行
與真時距分一十一分三
十九秒八○之比與食甚
用時相加得午正三刻六
分三十九秒為食甚真時
【食甚用時白經在高弧西月影視在西真時在用時
後故加若白經在高孤東月影視在東真時在用時
前則減】又求得壬酉垂線四
分二十九秒即食甚真時
兩心視相距也夫京師之
地面一也旣以人所處之地
面為日影心而用時日影心
在壬設時日影心在已其故
何也蓋人之【此圖用三分之一】所
處原有定在而太陽隨天西
轉其所照之地面時時不同
設時太陽旣轉而西人在壬
視之則乾點亦移而西矣今
仍就原乾點立算則人之視
日如在己視乾是非人所處
之地面改也日之所照者改
也若就一壬點立算則設時
日照地面正中之點隨距等
圈西轉至申白道經圈西轉
至戌戊申為太陽距北極與
戊乾等申戌為距緯與子乾
等戊申戌角此圖用三分之
一
為赤白二經交角與戊乾丑
角等戊壬為京師北極距天
頂與戊巳等申戊壬角為設
時日距午西赤道度與乾戊
巳角等戊申壬角為設時赤
經高弧交角與戊乾巳角等
申壬為設時太陽距天頂即
設時高下差與乾已等戌申
壬角為設時白經高弧交角
與子乾巳角等戌未為設時
距弧與子午等未申戌角為
設時對距弧角與午乾子角
等壬申未角為設時對兩心
視相距角與巳乾午角等人
在壬視之則日影心總在壬
而用時則見月影心在子設
時則見月
影心在未是自用時至設時
見月影心循子未線行故子
未為設時視行夫子未視行
線既不與白道平行則壬酉
兩心相距最近之線即不與
白道成直角而與視行成直
角故以月影心臨於酉點為
食甚真時以壬酉垂線為食
甚兩心視相距也然則與舊
法之可以相通者何也蓋舊
法從太隂取高下差今從日
影心當月天之度取高下差
形象雖殊理數則一試與白
道平行作壬亥水線與白經
平行作壬火木線及未土線
則壬亥即用時東西差乾亥
即用時南
北差與乾子相減餘亥子
用壬亥子勾股形亦可求
壬子邊壬水即設時東西
差申水即設時南北差以
申水與申戌相減餘壬火
【壬火與水戌等】以壬水與戌未距
弧相減餘火未用壬火未
勾股形亦可求壬未邊壬
亥與火未相加得子土【壬亥
與子木等火未與木土等】壬火與亥子
相減餘未土【亥子與壬木等火木與未
土等】用子未土勾股形亦可
求子未邊既得三邊則用
壬子未三角形亦可求中
垂線矣是則與舊法之可
以相通者然也然則與舊
法之所以異者何也按舊
法當以壬水設時東西差
與戌未設時距弧相減【舊法
以用時東西差為距弧故即以兩東西差相減】餘
火未與子木用時東西差
相加【火未與木土等子木與壬亥等】得子
土為設時視行乃以白道
度算故以太隂視行經度
臨於白道木點為食甚真
時壬木線與白道成直角
今以子未為設時視行不
以白道度算故以月影心
臨於酉點為食甚真時壬
酉線不與白道成直角而
與子未視行成直角是則
與舊法之所以異者然也
然則設時與近時之不同
何也蓋舊法以木點為白
道當太陽之度故先求實
行至木點之時刻為近時
而近時視行又不正當木點
故又以近時視行與近時距
分為比例而得食甚真時今
以實行至未點之時刻為設
時故以設時視行與設時距
分為比例而得食甚真時其
所不同者惟在視行與白道
平行不平行之殊若均以視
行為不與白道平行立算則
或用設時或用近時其所得
真時正自相同也然則簡平
與渾天之同異何也蓋渾天
以仰觀立算故以太隂當日
天之度為視差簡平以俯視
立算故以太陽當月天之度
為視差今乾申二點之影自
日心正射
地心乃太陽實高當月天
之度壬點之影自日心照
至地面乃太陽視高當月
天之度【見前高下差篇】故壬乾壬
申皆為高下差夫太陽視
高旣當月天壬點而用時
月心原在月天子點設時
月心原在月天未點故壬
子壬未即皆為日月兩心
視相距是以日天當月天
之度算也若以月天當日
天之度而論則用時月天
壬點之度當日天之乾而
太隂子點即當日天之亢
故子亢為用時高下差與
乾壬等乾亢為用時兩心
視相距與壬子等設時月
天己點之度當日天之乾
而太隂午點即當日天之
氐故午氐為設時高下差
與乾己等乾氐為設時兩
心視相距與己午等亦與
壬未等而亢氐亦與子未
等是簡平與渾天本屬一
理但自圓外觀耳如以圓
内仰觀立算則上為北下
為南東西猶舊【此以白平象限在天
頂南而論如白平象限在天頂北則上為南下為北
東西相反】用時日心在乾月心
實高在子視高在亢子亢
為用時高下差一十八分
三十三秒三四【此圖用全分】乾
子亢角為用時白經高弧
交角七度三十六分五十
二秒五三與子亢房角等
子房為用時東西差二分
二十七秒五三與亢斗等
房亢為用時南北差一十
八分二十三秒五二與子
斗等以子斗與子乾二十
三分二十八秒四五相減
餘斗乾五分四秒九三用
乾斗亢勾股形求得乾亢
弦五分三十八秒七四為
用時兩心視相距設時日
心仍在乾月心實高在午
視高在氐午氐為設時高
下差二十分二十五秒三
五午氐牛角為設時白經
高弧交角一十六度二十
六分四十五秒八七牛午
為設時東西差五分四十
六秒九一牛氐為設時南
北差一十九分三十五秒
二二與子女等以牛午與
子午設時實距弧九分六
秒相減餘子牛三分一十
九秒○九為設時視距弧
與女氐等以子女與子乾
相減餘女乾三分五十三
秒二三用乾女氐勾股形
求得乾氐弦五分六秒六
五為設時兩心視相距次
以女氐設時視距弧與亢
斗用時東西差相加【女氐與斗
虚等】得亢虚五分四十六秒
六二為用設二時視距和
以房亢用時南北差與牛
氐設時南北差相減餘虚
氐一分一十一秒七○為
用設二時緯差較用亢氐
虚勾股形求得亢氐弦五
分五十三秒九六為設時
視行次用乾亢氐三角形
求中垂線分為兩勾股法
求得亢危分邊三分二十
六秒二四為真時視行乾
危垂線四分二十九秒為
真時兩心視相距【乾亢乾氐兩腰
各自乘相減以亢氐勾和除之得勾較與勾和相加
折半得亢危大勾勾弦求股得乾危垂線】其數
皆與前同是東西南北差
與實距視距一理也如用
近時之法算之先以子房
用時東西差二分二十七
秒五三取子甲之分為近
時實距弧以一小時兩經
斜距二十七分一十六秒
五六為比例而得近時距
分五分二十四秒五二為
太隂行子甲弧之時分【即近
時距用時之時分】與食甚用時午
正二刻九分五十八秒九
五相加【用時月在白平象限西視經度差而
西近時在用時後故加若月在白平象限東視經度
差而東近時在用時前則減】得午正三
刻零二十三秒四七為食
甚近時即太隂行至甲點
之時刻惟時太隂實高在
甲視高在乙甲乙為近時
高下差一十九分零百分
秒之三十七按法求得甲
乙丙角一十度一十二分
一秒九二為近時白經高
弧交角甲丙為近時東西
差三分二十一秒九五丙
乙為近時南北差一十八
分四十二秒三五與子丁
等以子甲近時實距弧與
甲丙近時東西差相減餘
子丙五十四秒四二為近
時視距弧在實緯西【即近時視
行距實緯之弧月在白平象限西視經度差而西而
東西差大於實距弧故為緯西若小於實距弧則為
緯東月在限東反是】與乙丁等以子
丁近時南北差與子乾實
緯二十三分二十八秒四
五相減與丁乾四分四十
六秒一○用乾丁乙勾股
形求得乾乙弦四分五十
一秒二三為近時兩心視
相距次以子丙近時視距
弧與子房用時東西差相
減餘丙房一分三十三秒
一一與亢戊等為用近二
時視距較【用時東西差與近時視距弧同
在緯西故相減為視距較若一東一西則相加為視
距和】以房亢用時南北差與
丙乙近時南北差相減【房亢
與丙戊等】餘戊乙一十八秒八
三為用近二時緯差較用
亢戊乙勾股形求得亢乙
弦一分三十四秒九九為
近時視行【即近時距用時之視行】次
用乾亢乙三角形求形外
垂線補成兩勾股法求得
亢已分邊三分二十五秒
○三為真時視行【即真時距用時
之視行】以亢乙近時視行與
近時距分五分二十四秒
五二之比同於亢已真時
視行與真時距分一十一
分四十秒四六之比【即真時距
用時之時分】與食甚用時相加
【限西故加限東則減與近時同】得午正三
刻六分三十九秒為食甚
真時又求得乾己垂線四
分二十九秒為真時兩心
視相距【乾亢乾乙兩腰各自乘相減以亢乙
為法除之得數大於亢乙則所得為兩勾和而亢乙
為兩勾較故知垂線在形外若有得之數小於除之
之數則所得之數為兩勾較而除之之數為兩勾和
即知垂線在形内若除得之數與除之之數等則知
小腰即係垂線成直角也】其數與用設
時所得同是用近時與用
設時一理也乃以真時午
正三刻六分三十九秒按
前法求其實高在庚視高
在辛乾辛兩心視相距果
為四分二十九秒與前所
求垂線合而辛角猶未為
直角故又求得乙辛邊一
分五十秒四九為考真時
視行乙壬邊五十一秒○
二為定真時視行乾壬垂
線仍為四分二十九秒為
定真時兩心視相距以乙
辛與考真時距分六分一
十五秒五三之比【即真時距近時
之時分】同於乙壬與定真時
距分六分一十七秒三二
之比與近時相加得午正
三刻六分四十秒七九【進為
四十一秒】始為食甚定真時焉
蓋食甚時兩心視相距之
線與視行成直角故前後
數秒之間其相距皆相等
若秒下加小餘細考之則
午正三刻六分四十一秒
之時相距為四分二十九
秒二三八九其三十九秒
之時則相距猶為四分二
十九秒二三九九至四十
三秒之時則相距又為四
分二十九秒二三九一故
以四十一秒之時為相距
尤近然測候之際至分巳
密故推算之法總以三十
秒進一分秒下之小餘原
可不計今考之又考者第
以求其確凖耳若用新數
而以視行與白道為平行
算之則早三分有奇故今
推視行之法尤為精密至
求近時則猶求設時之法
也求視差則猶求視距之
法也理無殊塗法歸一致
庶幾質諸往昔而無疑用
【之推步而不忒矣】
求日食初虧復圓時刻【一時為】
日食求初虧復圓時刻先以食甚視緯為一邊併徑為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓用時次以初虧復圓用時各求其東西差與食甚真時之東西差相較得初虧復圓視行與初虧復圓距弧比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓真時上編言之詳矣【前設時求其兩心視相距方位附見食食三限】今食甚真時兩心視相距與視行成直角初虧復圓距食甚之弧亦即視行之度則求初虧復圓用時以食甚視行為比例較之以月距日實行為比例者必為近之且初虧復圓用時之東西差旣不與食甚真時等則南北差亦不等雖以初虧復圓視行比例得時分而其時之兩心視相距亦未必與併徑等然則即以視行比例之時分與食甚真時相加減猶未必即為初虧復圓真時也近日西【時刻及求初虧復圓用時真時篇】法初虧復圓各設【太隂在限西食甚真時在用時後如食甚用時兩心視相距與併徑相去不遠則以食甚用時為初虧前設時小則向前設大則向後設太隂在限東食甚真時在用時前如食甚用時兩心視相距與併徑相去不遠則以食甚用時為復圓前設時小則向後設大則向前設】又設一時為後設時亦各求其兩心視相距【前設時兩心視相距小於併徑初虧向前設復圓向後設大於併徑初虧向後設復圓向前設】乃以兩視距之較為一率兩設時之較為二率後設時兩心視相距與併徑之較為三率求得四率為初虧復圓真時距分與初虧復圓後設時相加減得初虧復圓真時【前設時兩心視相距小於併徑初虧減復圓加大於併徑初虧加復圓減】然後又以真時各考其兩心視相距果與併徑等方為定真時焉蓋初虧兩周初切復圓兩周初離日月兩心視相距必與併徑等故務求其恰合而初虧復圓乃為確準也雖其數比舊法所差無多而其理甚為細密至於設時之法則亦猶食甚用時近時之義耳今亦如食甚之次第先求初虧復圓用時【即前設時】次求初虧復圓近時【即後設時】俾學者知設時之準而其求兩心視相距與以兩視距比例時分則猶是設時之法也旣得初虧復圓兩心視相距與併徑等則求得併徑與高弧相交之角即為方位角圖說並詳於左
如雍正八年六月戊戌朔
日食日月實併徑三十分
一十八秒六五食甚用時
午正二刻九分五十八秒
九五乾甲兩心實相距在
黄道北二十三分二十八
秒四五甲乙兩心視相距
五分三十八秒七四小於
併徑遠甚故向前取午初
初刻四分為初虧前設時
與食甚用時相減餘一時
三十五分五十八秒九五
與一小時兩經斜距二十
七分一十六秒五六為比
例得四十三分三十八秒
○一自甲向前截之於丙
則丙點為初虧前設時月
影心甲丙為初虧前設時
距弧求得甲乾丙角六十
一度四十三分一十三秒
四七為對距弧角乾丙邊
四十九分三十二秒八三
為初虧前設時兩心實相
距又以初虧前設時赤經
高弧交角二十九度五十
六分五十一秒○一取坎
乾丁角【午前赤經在高弧東故從赤經向西
取高角】以本時日距天頂二
十一度四十九分一十一
秒○八之高下差二十分
零百分秒之五十一取乾
丁之分則丁點為初虧前
設時日影心求得甲乾丁
白經高弧交角四十五度
三分六秒八七與甲乾丙
對距弧角相減餘丁乾丙
角一十六度四十分六秒
六○為對兩心視相距角
用乾丁丙三角形求得丁
角一百五十二度三十八
分零百分秒之八十三為
對兩心實相距角丁丙邊
三十分五十五秒○一為
初虧前設時兩心視相距
比併徑大三十六秒三六
則初虧真時必在前設時
之後故又向後取午初初
刻八分為初虧後設時依
法求得甲戊距弧四十一
分四十八秒九一甲乾戊
對距弧角六十度四十一
分二十七秒六三乾戊兩
心實相距四十七分五十
七秒二一甲乾己白經高
弧交角四十三度二十二
分六秒七一巳乾戊對兩
心視相距角一十七度一
十九分二十秒九二戊己
乾對兩心實相距角一百
五十一度二十二分四十
四秒一一戊己兩心視相
距二十九分四十八秒四
四比併徑小三十秒二一
夫丙丁旣大於併徑戊己
旣小於併徑則併徑必在
二線之間如庚辛乃自丁
至己作丁己線又取戊己
之分截丙丁線於癸作戊
癸線則癸丙為兩視距之
較一分六秒五七丙戊為
兩設時之較四分壬庚為
後設時視距小於併徑之
較三十秒二一以丙癸與
丙戊之比同於壬庚與庚
戊一分四十八秒九一之
比為初虧真時距分與初
虧後設時相減【後設時兩心視相距
小於併徑故減】得午初初刻六分
一十一秒○九為初虧真
時再以初虧真時考其兩
心視相距果得三十分一
十八秒六三與併徑合則
初虧真時即為初虧定真
時其對考真時兩心實相
距角一百五十一度五十
七分二十秒即初虧方位
角復圓倣此
又法先求初虧用時乾甲
為食甚實緯【即食甚用時兩心實相距】乙為食甚真時日影心丙
為食甚真時月影心乙丙
為食甚真時兩心視相距
四分二十九秒二四與乙
丙取直角作線以日月併
徑三十分一十八秒六五
取乙丁乙戊之分合成乙
丙丁乙丙戊兩勾股形求
得丙丁股二十九分五十
八秒六一與戊丙等為初
虧復圓平距【初虧復圓距食甚用時之
度名距弧故此名平距以别之】次以食甚
定真時視行一分五十一
秒○二為一率【即食甚定真時距食
甚近時之視行】定真時距分六分
一十七秒三二為二率【即食
甚定真時距食甚近時之時分俱見前篇】初虧
復圓平距為三率求得四
率一時四十一分五十二
秒六六為初虧復圓用時
距分與食甚定真時相減
得午初初刻九分四十八
秒一三為初虧用時以用
時距分與食甚定真時相
加得未正二刻三分三十
三秒四五為復圓用時
初虧用時月影心在己甲
己為初虧用時距弧四十
分五十九秒七五【以初虧用時與
食甚用時相減餘一時三十分一十秒八二與一小
時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例得初
虧用時距弧】日影心在庚辛庚
為京師北極距天頂五十
度五分乾辛為日距北極
六十八度二十一分四十
七秒九八庚辛乾角為日
距午東一十二度三十二
分五十八秒○五乾庚為
日距天頂二十一度一十
分一十八秒二二在地則
為初虧用時高下差一十
九分二十六秒五三庚乾
辛角為初虧用時赤經高
弧交角二十七度二十八
分四十五秒一○與辛乾
甲赤白二經交角一十五
度六分一十五秒八六相
加得庚乾甲角四十二度
三十五分零百分秒之九
十六為初虧用時白經高
弧交角【赤經在高弧東白經又在赤經東故
加】庚壬為初虧用時東西
差一十三分九秒三五與
甲癸等乾壬為初虧用時
南北差一十四分一十八
秒九○以甲癸與甲己距
弧相減餘己癸二十七分
五十秒四○以乾壬與乾
甲相減餘壬甲九分九秒
五五與庚癸等用庚癸巳
勾股形求得庚巳弦二十
九分一十八秒四八為初
虧用時兩心視相距比併
徑小一分零百分秒之一
十七則初虧真時必猶在
用時前也乃以初虧用時
兩心視相距為一率初虧
用時距分為二率初虧用
時兩心視相距小於併徑
之較為三率求得四率三
分二十九秒一六為初虧
近時距分與初虧用時相
減【初虧用時兩心視相距小於併徑故減】得
午初初刻六分一十八秒
九七為初虧近時蓋就食
甚真時乙點立算與庚巳
平行作乙子線與庚巳等
即初虧用時兩心視相距
自丙至子作丙子線即初
虧用時視行【即初虧用時距食甚定真
時之視行】以時刻而論即初虧
用時距分【即初虧用時距食甚定真時之
時分】試將乙子線以併徑之
分引長至丑則子丑即初
虧用時兩心視相距小於
併徑之較又將丙子線引
長至寅使子丑寅與子乙
丙成同式形則乙子與行
丙子弧時分之比即同於
子丑與行子寅弧時分之
比以子寅與丙子時分相
加【初虧在食甚前時刻減而早則距食甚前之視
行愈多故視行為加】得丙寅與丙丑
等故以丑點為初虧近時
之月影心丙丑為初虧近
時距食甚之視行其乙丑
兩心視相距乃與併徑等
也【子丑寅與子乙丙為同式形則丙丑必長於丙
寅然所差無多故以太隂視行臨於丑點為初虧近
時】
初虧近時月影心在卯甲
卯為初虧近時距弧四十
二分三十四秒八四【以初虧近
時與食甚用時相減餘一時三十三分三十九秒九
八與一小時兩經斜距為比例得初虧近時距弧】日影心在辰辛辰為京師
北極距天頂五十度五分
辰辛乾角為日距午東一
十三度二十五分一十五
秒四五辰乾為日距天頂
二十一度三十三分一十
七秒九四在地為初虧近
時高下差一十九分四十
六秒六五辰乾辛角為初
虧近時赤經高弧交角二
十八度五十八分五十七
秒四二與辛乾甲赤白二
經交角相加得辰乾甲角
四十四度五分一十三秒
二八為初虧近時白經高
弧交角辰已為初虧近時
東西差一十三分四十五
秒六一與甲午等乾巳為
初虧近時南北差一十四
分一十二秒三五以甲午
與甲卯距弧相減餘午卯
二十八分四十九秒二三
以乾巳與乾甲相減餘巳甲
九分一十六秒一○與辰午
等用卯辰午勾股形求得辰
卯弦三十分一十六秒四五
為初虧近時兩心視相距比
初虧用時兩心視相距大五
十七秒九七而比併徑仍小
二秒二○則初虧真時必猶
在近時前也乃以用近二時
兩心視相距之較五十七秒
九七為一率近時距分三分
二十九秒一六為二率用時
兩心視相距小於併徑之較
一分零百分秒之二十七為
三率求得四率三分三十七
秒一一與初虧用時相減得
午初初刻
六分一十一秒○二為初
虧真時蓋仍就乙點立算
與辰卯平行作乙未線與
辰卯等即初虧近時兩心
視相距自丙至未作丙未
線即初虧近時視行試依
乙未之分將初虧用時兩
心視相距之乙子線引長
至土則子土即初虧用近
二時兩心視相距之較依
丙未之分將初虧用時視
行之丙子線引長至木則
子木即初虧用近二時兩
視行之較又依併徑之分
將乙子線引長至火與土
木平行作火金線將丙木
線引長合之於金則子火
即初虧用真二時兩心視
相距之較子金即初虧用真
二時兩視行之較故子土與
行子木弧時分之比即同於
子火與行子金弧時分之比
以子金與丙子相加得丙金
與丙水等故以水點為初虧
真時之月影心丙水為初虧
真時距食甚之視行其乙水
兩心視相距乃與併徑相等
也於是以初虧真時依法求
其兩心視相距果得三十分
一十八秒六五與併徑合則
初虧真時即為初虧定真時
又以辰午與卯午之比同於
半徑與【如或大或小則又用比例求之】卯
辰午角正切線之比而卯辰
午角即併徑如或大或小則
又用比例求之
白經交角與申辰午白經
高弧交角相減【辰午與乾甲平行即
日影所當白道經圈故申辰午角與辰乾甲角等申
乾高弧在卯辰午角之内故減在外則加】餘卯
辰申角為併徑高弧交角
日在辰月在卯卯辰為併
徑申乾為高弧申為上乾
為下初虧方位為上偏右
【邊角俱用初虧定真時立算因與初虧近時相去不
遠故借近時之圖以明之】因即以併徑
立算故質名之曰併徑高
弧交角不必又求緯差角
與黄道高弧交角相加減
而後為定交角也復圓倣
此
求日食帶食
推日食帶食法舊以初虧復圓距時之視行【帶食在食甚前用初虧視行帶食在食甚後用復圓視行】與日出入距食甚之時分【即帶食距時】為比例得日出入距食甚之視行【即帶食距弧】而後與食甚視緯求其兩心視相距下編仍之今推食甚先求兩心視相距而後求視行初虧復圓止求兩心視相距更不求視行則帶食亦可逕求兩心視相距不待先求視行矣且舊法推視行雖不見初虧食甚或不見食甚復圓皆猶多此一算今逕求兩心視相距則以地平為斷凡己初虧而帶出者止求帶出時之相距不用求初虧視行未復圓而帶入者止求帶入時之相距不用求復圓視行若己過食甚而帶出者即以帶食視緯求復圓用時未及食甚而帶入者即以帶食視緯求初虧用時固不用求視行亦不用求食甚其法甚為省便况視行不與白道平行帶食之視緯必不與食甚等則逕求帶食兩心視相距而不用視行者其理尤為確凖也
如雍正九年辛亥十二月
庚寅朔日食帶食食甚用
時辰正二刻一分五十一
秒一六日出辰初一刻九
分二十九秒二三在用時
前四刻七分二十一秒九
三以一小時兩經斜距三
十三分一十秒二三為比
例得甲乙三十七分一十
四秒五四為帶食距弧甲
為用時月影心乙為帶食
月影心乾甲為用時兩心
實相距四十三分三十七
秒八○甲乾乙角為帶食
對距弧角四十度二十九
分二秒二八乾乙為帶食
兩心實相距五十七分二
十一秒八一坎乾甲角為
赤白二經交角八度四十
分五十秒六八【本時日在冬至後黄
經在赤經西月在正交後白經又在黄經西故白經
更在赤經西】坎乾丙角為日出
時赤經高弧交角四十五
度四十分四十八秒三八
【赤經在高弧東】内減坎乾甲角餘
甲乾丙角三十六度五十
九分五十七秒七○為日
出時白經高弧交角【赤經在高
弧東白經在赤經西故以赤白二經交角與赤經高
弧交角相減餘為白經高弧交角】與甲乾
乙對距弧角相減餘乙乾
丙角三度二十九分四秒
五八為帶食對兩心視相
距角丙為帶食日影心丙
乾為地平高下差五十九
分二十秒二一用乾乙丙
三角形求得丙角五十九
度一十一分一十七秒四
七為帶食對兩心實相距
角即帶食方位角與半周
相減餘乙丙丁角一百二
十度四十九分為帶食視
距高弧交角【方位角止用度分故不計
秒】丁為上乾為下帶食方
位為右偏下又求得乙丙
邊四分三秒五七為帶食
兩心視相距與日月實併
徑三十二分二十一秒四
四相減餘二十八分一十
七秒八七以日全徑三十
二分四十六秒作十分為
比例得八分三十八秒一
七即帶食分秒也
又法以甲乾丙白經高弧
交角及丙乾高下差求得
戊丙東西差三十五分四
十二秒五六與甲己等乾
戊南北差四十七分二十
三秒三三以乾甲實緯與
乾戊南北差相減餘戊甲
三分四十五秒五三與丙
己等為帶食視緯以甲己
東西差與甲乙帶食距弧
相減餘乙己一分三十一
秒九八為帶食視距弧用
乙丙己勾股形求得乙丙
弦四分三秒五七為帶食
兩心視相距與前所得數
同又以丙己與乙己之比
同於半徑一千萬與丙角
正切線之比而得丙角二
十二度一十一分一十五
秒與乾丙己白經高弧交
角相加【乾丙己角與甲乾丙角等】得乙
丙乾角五十九度一十一
分與半周相減餘乙丙丁
角一百二十度四十九分
為帶食視距高弧交角亦
與前所得數同此乙丙視
距未與視行成直角【甲乙雖非
視行然相去不遠】帶食在食甚前
必按求食甚真時之法求
得真時兩心視相距再求
復圓用時如帶食在食甚
後者則不用求食甚即以
丙己帶食視緯為勾丙庚
併徑為弦求得己庚股與
乙己帶食視距弧相加得
乙庚為復圓距弧【甲乙帶食距弧
大於東西差乙庚大於己庚故加若甲乙帶食距弧
小於東西差而乙庚小於己庚則減】以一小
時兩經斜距為比例卽得
復圓距時與日出時刻相
加即得復圓用時也【帶食出地
復圓在日出後故加若帶食入地初虧在日入前則
減】帶食入地者倣此
御製歷象考成後編卷三
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成後編>
