2-御製歷象考成後編卷一
御製歷象考成後編卷一
日躔數理
日躔總論
歲實
黄赤距緯
清蒙氣差
地半徑差
用撱圓面積為平行
求兩心差及撱圓與平圓之比例
求撱圓大小徑之中率
撱圓角度與面積相求
求均數
日躔總論
欽若授時以日躔為首務蓋日出而為晝入而為夜與月會而為朔行天一周而為歲歲月日皆於是乎紀故堯典以賓餞永短定治歷之大經萬世莫能易也其推之法三代以上不可考漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四限較前代為密西法自多禄畝以至第谷則立為本天高卑本輪均輪諸說用三角形推算其術尤精上編言之備矣近世西人刻白爾噶西尼等更相推考又以本天為撱圓均分其面積為平行度與舊法迥殊然以求盈縮之數則界乎本輪均輪所得數之間盖其法之巧合雖若與第谷不同而其理則猶是本天高卑之說也至若歲實之轉增距緯與兩心差之漸近地半徑差蒙氣差之互為大小則亦由於積候損益舊數以成一家之言今用其法並釋其義云
歲實
日行天一周為歲周歲之日分為歲實古法日行一度故周天為三百六十五度四分度之一歲實為三百六十五日四分日之一【周日為一萬分四分之一為二千五百分】堯典曰朞三百有六旬有六日杜預謂舉全數而言則有六日其實五日四分日之一是也漢末劉洪始覺冬至後天以為歲實太強減歲餘分二千五百為二千四百六十二晉虞喜宋何承天祖沖之謂歲當有差乃損歲餘以益天周歲差之法由斯而立元郭守敬取劉宋大明戊寅以來相距之積日時刻求得歲實為三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一減七十五分而天周即為三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定歲實為三百六十五日五時三刻三分四十五秒以周日一萬分通之得三百六十五日二四二一八七五較之郭守敬又減萬分之三有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】歲差則謂恒星每年東行五十一秒不特天自為天歲自為歲而星又自為星其理甚明其用尤便上編仍之厥後西人奈端等屢測歲實又謂第谷所減太過酌定歲實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四十一微三十八纖二忽二十六芒五十六塵以周日一萬分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多萬分之一有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纖四十三忽二十二芒零三塵【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纖有奇每年少三十微有奇盖歲實之分數增則日行之分數減據今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷舊表遲二刻日躔平行根比舊表少一分一十四秒【見推日躔用數】而第谷去今一百四十餘年以數計之其差恰合是亦取前後兩冬至相距之積日時刻而均分之非意為增損也至於歲實消長統天授時用之新法算書雖為之說而實未用其數兹不具論
黄赤距緯
黄赤距緯古今所測不同自漢以來皆謂黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所測為二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之得三十三度三十三分三十二秒新法算書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖聖祖仁皇帝命和碩莊親王等率同儒臣於暢春園蒙養齋開局測太陽高度得黄赤大距為二十三度二十九分三十秒今監臣戴進賢等歷考西史第谷所測盖在明隆萬時而漢時多禄畝所測為二十三度五十一分三十秒較第谷為多我朝順治年間刻白爾改為二十三度三十分後利酌理噶西尼又改為二十三度二十九分俱較第谷為少其前後多少之故或謂諸家所用蒙氣差地半徑差之數各有不同故所定距緯亦異然合中西考之第谷以前未知有蒙氣差而多禄畝與古為近至郭守敬則與第谷相若而去多禄畝則有十
數分之多康熙年間所用蒙氣差地半徑差俱仍第谷之舊與刻白爾噶西尼等所用之數不同而所測大距又相去不遠由此觀之則黄赤距度古今實有不同而非由於所用差數之異所當隨時考測以合天也近日西法並宗噶西尼故黄赤大距為二十三度二十九分至於測量之術推算之理上編闡奥發微千古不易故不復載
清蒙氣差
清蒙氣差西人第谷始發其義謂地中遊氣上騰能升卑為高映小為大而蒙氣之厚薄升像之高下又隨地不同其所作蒙氣差表謂其國北極出地五十五度測得地平上最大蒙氣差三十四分自地平以上其差漸少至距地高四十五度猶差五秒更高則無蒙氣矣厥後西人又言北極高四十八度太陽高四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆有蒙氣差上編具載其說而表則仍新法算書第谷之舊也今監臣戴進賢等歷考西史第谷所定地平上蒙氣差其門人刻白爾即謂失之稍大而猶未定有確數至噶西尼始從而改正焉其說謂蒙氣繞乎地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣所映必能視之使高而日月星之光線入乎蒙氣之中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合而為一蒙氣之外則岐而為二此二線所交之角即為蒙氣差角第谷己悟其理然猶未有算術噶西尼反覆精求謂視線與光線所岐雖有不同而相合則有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成一角二角相減即得蒙氣差角爰在北極出地高四十四度處屢加精測得地平上最大差為三十二分一十九秒蒙氣之厚為地半徑千萬分之六千零九十五視線角與光線角正弦之比例常如一千萬與一千萬零二千八百四十一用是以推逐度之蒙氣差至八十九度尚有一秒驗諸實測較第谷為密近日西法並宗之具詳圖法於左
如圖甲為地心乙為地面
乙甲為地半徑一千萬丙
乙為蒙氣之厚六千零九
十五丁為太陽【月星倣此】照於
蒙氣之戊人自地面乙視
之則見日於戊者當本天
之巳巳戊乙為視線丁戊
乙為光線是視線常高光
線常卑視線常直光線常
折在戊點蒙氣之内則光
線與視線合同為戊乙出
乎戊點之外則視線己戊
光線丁戊岐而為二故己
戊丁角為蒙氣差角試自
地心甲出線過戊點至庚
則庚甲即為地平上蒙氣
之割線己戊庚角為視線
與割線所成之角丁戊庚
角為光線與割線所成之
角而己戊丁蒙氣差角即
為兩角之較今既測得地
平上蒙氣差為三十二分
一十九秒又測定蒙氣之
厚為六千零九十五則己
戊庚視線角與丁戊庚光
線角可以得其比例其術
用甲乙戊直角三角形以
甲戊一○○○六○九五
與甲乙一千萬之比同於
乙直角正弦一千萬與戊
角正弦九九九三九○八
【小餘七一】之比而得戊角為八
十八度【小餘百分秒之四二】即己戊
庚角又以己戊丁蒙氣差
角三十二分一十九秒與
之相加得八十八度三十
二分一十九秒【小餘四二】即丁
戊庚角其正弦為九九九
六七四八【小餘二五】夫視線角
之正弦己辛為九九九三
九○八【小餘七一】則光線角之
正弦丁壬為九九九六七
四八【小餘二五】若設己辛為一
千萬則丁壬必為一○○
○二八四一此兩角正弦
之比例也既得兩弦之比
例而蒙氣差之戊角與視
線交蒙氣割線之戊角同
以在地平為最大漸近天
頂則漸小則是二者常相
因而逐度之蒙氣差皆可
以兩弦比例而推如求地
平上高二十度癸己弧之
蒙氣差則癸戊乙為視線
子戊乙為光線丑戊甲為
地平上二十度蒙氣之割
線戊乙丙角為七十度癸
戊丑角為視線與割線所
成之角其正弦為癸寅子
戊丑角為光線與割線所
成之角其正弦為子卯先
用甲戊乙三角形求得戊
角六十九度五十四分一
十五秒【小餘五五】即癸戊丑角
又以一千萬與一○○○
二八四一之比同於癸寅
與子卯之比而得子戊丑
角為六十九度五十六分
五十五秒【小餘九二】兩角相減
餘癸戊子角二分四十秒
【小餘三七】即地平上二十度之
蒙氣差也餘倣此
地半徑差
地半徑差者視高與實高之差也太陽距地平近則差角大漸高則漸小又太陽在最卑距地心近則差角大在最高距地心遠則差角小在中距為適中新法算書用歌白尼所定地半徑與中距日天半徑之比例為一與一千一百四十二地平上最大差為三分上編仍之其測量推算之法言之詳矣自後噶西尼等謂日天半徑甚遠無地半徑差而測量所係只在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星之在天惟恒星無地半徑差若以日與恒星相較可得其準而日星不能兩見是測日不如測五星也土木二星在日上去地尤遠地半徑差愈微金水二星雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之同與一恒星相較其距恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有地半徑差其不等之數即兩處地半徑差之較且火星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差必更小於火星地半徑差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半徑差為二十五秒比例得太陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒驗之交食果為脗合近日西法並宗其說今用所定地半徑差求地半徑與日天半徑之比例中距為一與二萬零六百二十六最高為一與二萬零九百七十五最卑為一與二萬零二百七十七以求地平上最大之地半徑差最高為九秒五十微最卑為一十秒一十微測算之法並述於左
康熙十一年壬子秋分前
十四日火星與太陽衝西
人噶西尼於富郎濟亞國
測得火星距天頂五十九
度四十分一十五秒利實
爾於噶耶那島測得火星
距天頂一十五度四十七
分五秒同時用有千里鏡
能測秒微之儀器與子午
線上最近一恒星測其相
距噶西尼所測火星較低
一十五秒【如噶西尼測得火星距恒星下
四十分一十五秒利實爾測得火星距恒星下四十
分又逐日細測恒星距天頂噶西尼測得為五十九
度利實爾測得為一十五度七分五秒各與所測火
星距恒星之數相加即各得火星距天頂之度】以
之立法甲為地心乙為富
郎濟亞國地面丙為天頂
丁為噶耶那島地面戊為
天頂己為火星丙戊己庚
為子午線【如兩地面不同在一子午線則
須按東西里差求其同一子午線之高度見上編日
躔歷理】己乙丙角為乙處火
星視距天頂五十九度四
十分一十五秒己丁戊角
為丁處火星視距天頂一
十五度四十七分五秒【地面
為視距地心為實距】辛為恒星辛甲
丙角為乙處恒星距天頂
之度辛甲戊角為丁處恒
星距天頂之度因恒星距
地甚遠地面所視與地心
無異故無地半徑差假若
火星亦無地半徑差則乙
處火星實距天頂當為己
甲丙角丁處火星實距天
頂當為己甲戊角而火星
與恒星之相距即同為己
甲辛角無高低之異乃乙
處所測火星距天頂為己
乙丙角較之實距天頂之
己甲丙角低一乙己甲角
是即乙處之地半徑差也
丁處所測火星距天頂為
己丁戊角較之實距天頂
之己甲戊角低一丁己甲
角是即丁處之地半徑差
也夫火星之距恒星一也
因乙處所測火星距天頂
遠故乙己甲差角大丁處
所測火星距天頂近故丁
己甲差角小則乙處所測
火星距恒星較丁處一
十五秒即兩差角相減所
餘之丁己乙角乃兩處地
半徑差之較也既得地半
徑差較丁己乙角而欲求
地平上最大差甲壬乙角
則以兩處所測火星距天
頂之正弦相減與地半徑
差較秒數之比即同於半
徑一千萬與地平上最大
差秒數之比盖將己乙線
引長至癸自甲作甲癸垂
線成甲癸乙直角形癸為
直角乙角與己乙丙為對
角即乙處火星距天頂之
度甲癸為地半徑差乙己
甲角之正弦【甲己為半徑故】甲乙
為地半徑即最大差甲壬
乙角之正弦【甲壬為半徑故】其法
為乙角正弦與甲癸之比
同於癸直角正弦一千萬
與甲乙之比檢表而得壬
角也又將己丁線引長至
子自甲作甲子垂線成甲
子丁直角形子為直角丁
角與己丁戊為對角即丁
處火星距天頂之度甲子
為地半徑差丁己甲角之
正弦甲丁與甲乙等亦為
最大差甲壬乙角之正弦
其法為丁角正弦與甲子
之比同於子直角正弦一
千萬與甲丁之比亦檢表
而得壬角也夫兩視距天
頂之正弦與兩地半徑差
正弦之比既皆同於一千
萬與最大差正弦之比則
兩視距天頂正弦相減之
較與兩地半徑差正弦相
減之較之比亦必同於一
千萬與最大差正弦之比
又地半徑差角甚小其兩
正弦之較與兩角度之較
可以相為比例則兩視距
天頂正弦相減之較與兩
地半徑差相減所餘秒數
之比亦必同於一千萬與
最大差秒數之比矣故以
己乙丙角五十九度四十
分一十五秒之正弦八六
三一三八六與己丁戊角
一十五度四十七分五秒
之正弦二七二○二三六
相減餘五九一一一五○
為一率乙己丁角一十五
秒為二率一千萬為三率
求得四率二十五秒【小餘三七】即甲壬乙角為火星在地
平上最大之地半徑差也
既得火星地半徑差甲壬
乙角而欲求太陽地半徑
差甲丑乙角據歌白尼第
谷測得火星距地甲壬與
太陽距地甲丑之比如一
百與二百六十六其法當
先用甲乙壬形以乙角正
弦為一率甲壬為二率壬
角正弦為三率甲乙為四
率此第一比例也次用甲
乙丑形以甲丑為一率乙
角正弦為二率甲乙為三
率丑角正弦為四率此第
二比例也然第二比例之
二率三率即第一比例之
一率四率而一率四率相
乘原與二率三率相乘之
數等故即以甲丑二六六
為一率甲壬一○○為二
率壬角二十五秒【小餘三七】為
三率求得四率九秒【小餘五三】進為一十秒為丑角度【因壬
丑二角甚小正弦與角度可以相為比例故壬角用
秒丑角亦得秒】即太陽在地平上
最大之地半徑差也
又按上編日躔求地半徑
差法以兩處恒星距天頂
相減餘四十三度五十二
分五十五秒為戊丙弧即
戊甲丙角先用乙甲丁三
角形甲乙甲丁二邊俱命
為一千萬以甲角折半之
正弦倍之得七四七三○
二三為乙丁邊又以甲角
與半周相減餘數半之得
六十八度三分三十二秒
三十微為乙角亦即丁角
次用乙己丁三角形此形
有乙丁邊有己乙丁角五
十二度一十六分一十二
秒三十微【半周内減去甲乙丁角又減去
己乙丙角餘即己乙丁角】有己丁乙角
一百二十七度四十三分
三十二秒三十微【半周内減去甲
丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己
丁角一十五秒【乙丁二角相併與半
周相減餘即己角與前地半徑差較合】求得
己丁邊八一二七五一二
五一五四【小餘二九】次用己丁
甲三角形此形有甲丁邊
有丁己邊有丁外角一十
五度四十七分五秒【即丁處火
星距天頂】將己丁線引長至子
成甲子丁直角形丁角正
弦二七二○二三六【小餘五】即甲子邊丁角餘弦九六
二二九○六即丁子邊以
丁子與己丁相加得己子
八一二八四七四八○六
○【小餘二九】為股甲子為勾求
得弦八一二八四七四八
一一二為甲己邊與甲壬
等即火星距地心數以地
半徑較之其比例為一與
八千一百二十八又以甲
壬為一率甲乙為二率一
千萬為三率求得四率一
二三○【小餘二四】為壬角之正
弦檢表得二十五秒【小餘三七】為火星在地平上最大差
與前法所得數同【上編求日纒地
半徑差亦可用前法算但兩處所測太陽一在天頂
南一在天頂北其差角為地半徑差總當以兩距天
頂之正弦相加與地半徑差總秒數之比同於一千
萬與地平上最大差秒數之比耳】
用撱圓面積為平行
太陽之行有盈縮由於本天有高卑春分至秋分行最高半周故行縮而歷日多秋分至春分行最卑半周故行盈而歷日少其說一為不同心天一為本輪而不同心天之兩心差即本輪之半徑故二者名雖異而理則同也第谷用本輪以推盈縮差惟中距與實測合最高前後則失之小最卑前後則失之大又最高之高於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半故又用均輪以消息乎其間而後高卑之數盈縮之行與當時實測相合上編言之詳矣然天行不能無差元郭守敬定盈縮之最大差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分新法算書第谷所定之最大差為二度零三分一十一秒刻白爾以來屢加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈縮差最高前後本輪固失之小矣均輪又失之大最卑前後本輪固失之大矣均輪又失之小乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日平行之度則高卑之理既與舊說無異而高卑前後盈縮之行乃俱與今測相符具詳圖說如左
如圖甲為地心乙丙丁戊
為黄道己為不同心天之
心庚辛壬癸為不同心天
乙庚為本輪半徑與甲己
兩心差等以本輪之法論
之最卑時本輪心在乙太
陽在庚中距時本輪心在
丙太陽在辛乙丙為平行
九十度辛甲丙角為平行
實行之最大差以不同心
天之法論之太陽自最卑
庚行至辛亦九十度己辛
甲角為平行實行之最大
差與辛甲丙角等故本輪
之法與不同心天之法相
同以均輪之法論之最卑
時本輪心在乙均輪心在
子太陽在丑中距時本輪
心在丙均輪心在卯太陽
在辛最高時本輪心在丁
均輪心在辰太陽在巳辛
甲丙角最大差仍當甲己
之全而丑乙之卑於本天
半徑巳丁之高於本天半
徑者止及甲己之半與甲
寅等故以推盈縮差惟中
距與本輪同最高半周比
之本輪則大【距地近故角大】最卑
半周比之本輪則小【距地遠故
角小】此其所以消息乎本輪
之行度者當時必有所據
而自刻白尔以來則謂高
卑之數均輪所定誠是但
其數漸減耳至以推盈縮
差則均輪之所消息者又
屬太過惟以寅為不同心
天之心作撱圓形自地心
甲瓜分之計太陽在撱圓
周右旋其所行之分撱圓
面積日日皆相等而用以
推黄道實行之盈縮則在
本輪均輪所得數之間而
與實測脗合試以寅為心
與己丑作十字線又取寅
丑之度從甲截横線於午
使午甲午己皆與寅丑半
徑等乃以甲己兩點各為
心午為界各用一針釘之
圍以絲線末以鉛筆代午
針引而旋轉即成丑午己
未撱圓形寅丑寅己為撱
圓大半徑寅午寅未為撱
圓小半徑則撱圓不以甲
己為心而以寅為心丑乙
之卑於黄道巳丁之高於
黄道者止及甲己之半與
寅甲等是高卑之理與均
輪合矣又將撱圓面積以
甲為心均分為三百六十
分每分之積皆為一度每
一度積為六十分太陽每
日右旋當每一度積之五
十九分有奇是為平行在
最卑半周甲心至撱圓界
之線短則角度必寛是為
行盈在最高半周甲心至
撱圓界之線長則角度必
狹是為行縮故太陽循撱
圓周行惟所當之面積相
等而角不等其角度與積
度之較即平行實行之差
中距平行至申甲申丑積
為撱圓四分之一為平行
九十度與寅午丑積等【申午
酉積微大于酉寅甲積然所差無多故為相等】亦
與申己甲角等而自地心
甲計之己當黄道之戌戌
甲丑角為實行己申甲角
為平行實行之差是中距
之盈縮差與本輪均輪皆
合矣用是以推逐度之盈
縮差在最高半周比之本
輪固大比之均輪又微小
最卑半周比之本輪固小
比之均輪又微大驗諸實
測庶為近之推算之法具
詳後篇
求兩心差及撱圓與平圓之比例
新法算書日躔中距之盈縮差為二度零三分零九秒四十微檢其正切得兩心差為三五八四一六上編仍之今測中距之盈縮差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒檢其正弦得一六九○○○為兩心差倍之得三三八○○○比舊數少千分之二有奇乃以兩心差一六九○○○為勾平圓半徑一千萬為弦求得股九九九八五七一【小餘八四八○一九一】即撱圓之小半徑而凡撱圓之正弦角度面積與平圓之比例皆同於撱圓之小半徑與平圓半徑之比例焉
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一午萬
乙戊為小半徑丙戊甲戊
皆與乙丁等太陽行至戊
甲戊丁分撱圓面積八十
九度一分五十四秒為平
行其小於九十度之五十
八分六秒即甲乙戊勾股
積【乙戊丁積為撱圓四分之一必九十度故甲戊
丁積小於九十度之積即甲乙戊勾股積】亦即
乙戊甲角【甲乙戊勾股積甲戊邊即大徑
乙戊邊即小徑其積介乎大小徑之間與分平圓面
相似故積度即角度若近甲丁則邊短而角大近甲
己則邊長而角小詳後篇】戊甲丁角九
十度五十八分零六秒為
實行其大於九十度者亦
五十八分六秒即戊甲辛
角與乙戊甲角等亦與丙
戊乙角等平行實行之差
一度五十六分一十二秒
即甲戊丙角折半得五十
八分零六秒即乙戊甲角
甲戊既為一千萬則甲乙
即乙戊甲角之正弦故檢
表得一六九○○○即甲
乙兩心差以甲乙為勾甲
戊為弦求得乙戊股九九
九八五七一【小餘八四八○一九一】即撱圓小半徑也既得撱
圓小徑則凡撱圓之面線
及角度皆可以得其比例
以正弦之比例言之試以
乙為心乙丁為半徑作丁
壬己癸平圓則撱圓乙丁
大半徑與平圓乙壬半徑
相等戊乙小半徑之小於
平圓半徑者即壬戊撱圓
差若逐度割之則撱圓之
餘弦必與平圓之餘弦相
等而撱圓之正弦必小於
平圓之正弦然平圓正弦
與撱圓正弦之比例必同
於平圓半徑與撱圓小半
徑之比例也如丁點為初
度無正弦丁乙為初度之
餘弦平圓與撱圓等丁壬
弧為九十度無餘弦壬乙
為平圓九十度之正弦即
大半徑戊乙為撱圓九十
度之正弦即小半徑壬戊
即九十度之撱圓差丁子
弧為三十度丑乙為三十
度之餘弦平圓與撱圓等
子丑為平圓三十度之正
弦寅丑為撱圓三十度之
正弦子寅為三十度之撱
圓差丁卯弧為六十度辰
乙為六十度之餘弦平圓
與撱圓等卯辰為平圓六
十度之正弦巳辰為撱圓
六十度之正弦卯巳為六
十度之撱圓差則子丑與
寅丑之比卯辰與巳辰之
比皆同於壬乙與戊乙之
比而子丑與子寅之比卯
辰與卯巳之比皆同於壬
乙與壬戊之比也奚以明
其然也盖撱圓之與平圓
處處皆有一小半徑藏乎
其内試取壬戊之分於乙
心作圜則午乙未乙申乙
酉乙皆與壬戊等壬午卯
未子申丁酉皆與戊乙等
是推而抵於平圓之界各
有一小半徑在也又自甲
丙二點出線合於戊則小
徑之端在戊而末在乙自
甲丙二點出線合於丁則
小徑之端在丁而末在酉
若自甲丙出二線合於寅
則小徑必端在寅而末在
戌合於巳則小徑必端在
巳而末在亥是引而歸於
平圓之徑又各有一小半
徑在也夫寅戌巳亥既皆
為小徑而申戌未亥又與
子丑卯辰為平行則寅戌
與子申巳亥與卯未亦必
為平行而申戌與子寅未
亥與卯巳必各相等故乙
子丑與戌寅丑及乙申戌
為同式形乙卯辰與亥巳
辰及乙未亥亦為同式形
而子丑與寅丑之比同於
子乙【即壬乙】與寅戌【即戊乙】之
比卯辰與巳辰之比同於
卯乙【即壬乙】與巳亥【即戊乙】之
比又子丑與申戌【即子寅】之
比同於子乙【即壬乙】與申乙
【即壬戊】之比卯辰與未亥【即卯
巳】之比同於卯乙【即壬乙】與
未乙【即壬戊】之比是平圓與
撱圓正弦之比例同於大
徑與小徑之比例也以角
度之比例言之設卯乙辰
角為平圓六十度【即丁卯弧】求
撱圓之巳乙辰角試以乙
辰為半徑作弧則卯辰為
卯乙辰角之正切巳辰為
巳乙辰角之正切夫卯辰
與巳辰之比既同於壬乙
與戊乙之比則卯乙辰角
之正切與巳乙辰角正切
之比亦必同於壬乙與戊
乙之比故以壬乙一千萬
為一率戊乙九九九八五
七一【小餘八五】為二率卯乙辰
角六十度之正切一七三
二○五○八為三率求得
四率一七三一八○三四
為巳乙辰角之正切檢表
得五十九度五十九分四
十七秒即巳乙辰角而卯
乙巳角一十三秒為撱圓
差角【卯乙辰角内減巳乙辰角餘即卯乙巳角】又設巳甲辰角六十度五
十分三十二秒求卯甲辰
角試以甲辰為半徑作弧
則巳辰為巳甲辰角之正
切卯辰為卯甲辰角之正
切夫卯辰與巳辰之比既
同於壬乙與戊乙之比則
巳辰與卯辰之比必同於
戊乙與壬乙之比而已甲
辰角之正切與卯甲辰角
正切之比亦必同於戊乙
與壬乙之比故以戊乙九
九九八五七一【小餘八五】為一
率壬乙一千萬為二率巳
甲辰角之正切一七九二
三八九七為三率求得四
率一七九二六四五七為
卯甲辰角之正切檢表得
六十度五十分四十五秒
即卯甲辰角而卯甲巳角
一十三秒為撱圓差角是
平圓與撱圓角度之比例
亦同於大徑與小徑之比
例也再以面積之比例言
之凡平圓面積與撱圓面
積之比例同於平圓外切
正方面積與撱圓外切長
方面積之比例亦即同於
撱圓大徑與小徑之比例
【撱圓大徑即平圓徑見幾何原本八卷第十二節】如求撱圓六十度之面積
則先設丁卯弧六十度求
乙卯丁六十度之平圓面
積以比之法以半周率三
一四一五九二六五【定率圓徑
一千萬則圓周為三一四一五九二六五今一千萬
為半徑故周率為半周】用三分之得
一○四七一九七五五為
卯丁弧線【因卯丁弧六十度為半周三分
之一故三分半周率而得卯丁弧線若有奇零則須
用比例法】與乙卯半徑一千萬
相乘折半得五二三五九
八七七五○○○○○即
乙卯丁分平圓六十度之
面積而為丁壬己癸平圓
全積六分之一又以壬乙
大半徑一千萬為一率戊
乙小半徑九九九八五七
一【小餘八五】為二率乙卯丁積
為三率求得四率五二三
五二三九九七二四○九
五即乙己丁分撱圓六十
度之面積而為丁戊己庚
撱圓全積六分之一也【此所
得六十度積較之全積六分之一尾數稍大因小徑
之小餘為八四八進為八五之故然於圓度只差纎
忽可不計也】蓋將平圓撱圓二
面積依壬癸横徑縷析之
則皆成線矣其線與線之
比既同於大徑與小徑之
比則面與面之比亦同於
大徑與小徑之比故分之
丁卯辰弧矢積與丁巳辰
弧矢積之比卯辰乙勾股
積與巳辰乙勾股積之比
皆同於大徑與小徑之比
而合之乙卯丁分平圓面
積與乙巳丁分撱圓面積
之比亦必同於大徑與小
徑之比也既得撱圓與平
圓之各比例則面線角度
皆可得而求至於撱圓正
弦以平圓命度而角度不
同分撱圓面積與全積相
當而角不相應則撱圓差
之所生而與平圓之所以
别也
求撱圓大小徑之中率
凡平圓面積自中心分之其所分面積之度即其心角之度以圜界為心角之規而半徑俱相等也若撱圓有大小徑角與積巳不相應矣【見前篇】况實行之角平行之積皆不以本天心為心而以地心為心太陽距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等又何以知積之為度而與角相較乎然以大小徑之中率作平圓其面積與撱圓等將平圓面積逐度遞析之則度分秒皆可按積而稽撱圓之全積既與平圓全積等則其遞析之面積亦必相等故分撱圓面積雖非度亦可以度命之而度分秒亦可按積而稽也
如圖甲為地心乙為本天
心乙甲為兩心差丙甲為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一千萬
乙戊為小半徑九九九八
五七一【小餘八四八○一九一】試以
乙丁大半徑作丁辛己壬
平圓則平圓與撱圓二面
積之比例同於平圓外切
癸子丑寅正方積與撱圓
外切卯辰巳午長方積之
比例又試以乙丁大半徑
為首率乙戊小半徑為末
率求得乙申中率九九九
九二八五【小餘八九】作平圓則
大半徑所作丁辛己壬平
圓與中率所作申酉戌亥
平圓二面積之比例亦同
於大徑平圓外切癸子丑
寅正方積與中率平圓外
切乾坎艮震正方積之比
例此二比例既同而乾坎
艮震正方積原與卯辰巳
午長方積等【首率末率相乘與中率自
乘等】則申酉戌亥平圓積亦
必與丁戊己庚撱圓積相
等矣乃以己丁大徑二千
萬與戊庚小徑一九九九
七一四三【小餘六九六○三八二】相
乘得卯辰巳午長方積與
乾坎艮震正方積等以方
與圓之比例定率七八五
三九八一六二五通之得
三一四一一四三九八二
八二三三七為申酉戌亥
平圓面積與丁戊己庚撱
圓面積等將申酉戌亥平
圓面積以三百六十度除
之得八七二五三九九九
五二二九為一度之面積
其形為分平圓面其兩腰
皆為中率半徑與乙申等
其弧其角皆為一度若將
丁戊己庚撱圓面積自甲
心亦平分為三百六十分
則其形為分撱圓面其兩
腰自甲丁極短以漸而長
逐度俱不等其弧其角亦
不等然其每分之面積則
皆與一度之面積等故凡
分一段撱圓面積以一度
之面積為法而一則面積
即可以度分命之然後以
面積之度與角度相較而
平行實行之差出焉如以
甲為心以中率為半徑作
平圓則甲巽丁分撱圓面
積為太陽距最卑後之平
行度與甲離申分平圓面
積等亦即與離甲申角等
巽甲離角為平行實行之
差其實行在平行前甲坤
己分撱圓面積為太陽距
最高後之平行度與甲兑
戌分平圓面積等亦即與
兑甲戌角等兑甲坤角為
平行實行之差其實行在
平行後也
撱圓角度與面積相求
前篇言以面積之度與角度相較而平行實行之差以出盖太陽距最卑後平行之度必與太陽距地心線所分之撱圓面積等故可以平行度為面積而求實行也然實行固角度也以實測言之則先得實行後求平行以角而求積也易以推步言之則先設平行後求實行以積而求角也難故先設以角求積之法可以知數理之實次設以積求角之法可以知比例之術次設借積求積借角求角之法可以知巧合補凑之方反覆參稽而數之離合乃纖悉畢呈焉圖說詳著於左
先設以角求積法如圖甲
為地心乙為本天心甲乙
為兩心差丙甲為倍差丁
戊己庚為本天丁為最卑
己為最高設太陽在辛辛
甲丁角為實行距最卑後
六十度求甲辛丁分撱圓
面積平行若干度分先將
甲辛線引長至壬作丙壬
垂線成甲丙壬辛丙壬兩
勾股形乃以半徑一千萬
為一率甲角六十度之正
弦八六六○二五四為二
率【丙甲壬角與辛甲丁角為對角其度相等】丙
甲倍兩心差三三八○○
○為三率求得四率二九
二七一六【小餘五九】為丙壬邊
又以半徑一千萬為一率
甲角六十度之餘弦五○
○○○○○為二率丙甲
邊為三率求得四率一六
九○○○為甲壬邊次以
丙壬為勾自乘以甲壬與
甲辛丙辛兩邊和二千萬
相加得二○一六九○○
○為股弦和除之得四二
四八【小餘二五】為股弦較與股
弦和相加折半得一○○
八六六二四【小餘一三】為丙辛
邊與二千萬相減餘九九
一三三七五【小餘八七】為甲辛
邊即太陽距地心線次以
半徑一千萬為一率甲角
六十度之正弦八六六○
二五四為二率甲辛邊為
三率求得四率八五八五
二三五【小餘三○】即辛癸邊次
以撱圓小徑九九九八五
七一【小餘八五】為一率大徑一
千萬為二率辛癸邊為三
率求得四率八五八六四
六一【小餘五八】即子癸邊檢正
弦得五十九度九分五十
三秒【小餘六九】即乙角度亦即
子丁弧度次以半周天一
百八十度化作六十四萬
八千秒為一率半圓周定
率三一四一五九二六【小餘
五】為二率乙角度分化作
二十一萬二千九百九十
三秒【小餘六九】為三率求得四
率一○三二六二二五【小餘
四七八四○○九】為子丁弧線與
乙丁半徑一千萬相乘折
半得五一六三一一二七
三九二○○五為乙子丁
分平圓面積次以撱圓大
徑一千萬為一率小徑九
九九八五七一【小餘八五】為二
率乙子丁積為三率求得
四率五一六二三七五三
六九二五四六為乙辛丁
分撱圓面積次以乙甲一
六九○○○與辛癸八五
八五二三五【小餘三○】相乘折
半得七二五四五二八八
二八五○為辛乙甲三角
積【辛乙甲三角積以乙甲為底辛癸為高故與同
底同高折半之積等】與乙辛丁積相
減餘五○八九八三○○
八○九六九六即甲辛丁
分撱圓面積以一度之面
積定率八七二五三九九
九五二二九除之得五十
八度三三三四【小餘八七】收作
五十八度二十分○秒三
十三微即實行距最卑後
六十度時之平行度也
又法求甲辛太陽距地心
線將甲辛線引長至壬使辛
壬與丙辛等又自丙至壬作
丙壬線成甲丙壬三角形此
形知丙甲倍兩心差三三八
○○○知甲壬二千萬知甲
外角六【甲辛丙辛共二千萬辛壬既與丙辛
等故甲壬亦二千萬】十度用切線分
外角法求得壬角四十九分
五十三秒又求得丙壬邊二
【小餘三六】○一七一○八○次
將丙壬邊折半【小餘二九】於癸
作辛癸垂線成壬癸辛直角
形以半徑一千萬為一率壬
角正割線一○○○一○五
三為二率癸壬邊一○○八
五【小餘三五】五四○為三率求
得四率一○○甲辛【小餘一四五】丙辛共二千萬辛壬既與丙
八六六○二【小餘六一】為辛壬
邊與甲壬二千萬相減餘
九九一三三九七【小餘三九】即
甲辛太陽距地心線也此
法所得甲辛線較前法多
二十二盖因壬角甚小比
例易差耳然其角度自不
爽故後借角求角之法則
用之且以甲為心以二千
萬為半徑作圜【如甲壬】又取
兩心差之倍度截直徑於
丙自丙出線至圜周【如丙壬】折半作垂線【如癸辛】所抵圜
徑之點即撱圓界【如辛點】依
法逐度作點連之即成撱
圓周以此發明撱圓之理
最為精巧故附於此
又設太陽在壬壬甲己角
為實行距最高後六十度
求甲壬己分撱圓面積平
行若干度分則以半徑一
千萬為一率甲角六十度
之正弦八六六○二五四
為二率丙甲三三八○○
○為三率求得四率二九
二七一六【小餘五九】為丙癸垂
線又以半徑一千萬為一
率甲角六十度之餘弦五
○○○○○○為二率丙
甲邊為三率求得四率一
六九○○○為甲癸分邊
次以丙癸為勾自乘以甲
癸與甲壬丙壬兩邊和二
千萬相減餘一九八三一
○○○為股弦和除之得
四三二○【小餘六六】為股弦較
與股弦和相加折半得九
九一七六六○【小餘三三】為丙
壬邊與二千萬相減餘一
○○八二三三九【小餘六七】為
甲壬邊即太陽距地心線
次以半徑一千萬為一率
甲角六十度之正弦八六
六○二五四為二率甲壬
邊為三率求得四率八七
三一五六二【小餘二五】即壬子
邊次以撱圓小徑九九九
八五七一【小餘八五】為一率大
徑一千萬為二率壬子邊
為三率求得四率八七三
二八○九【小餘四二】即丑子邊
檢正弦得六十度五十分
三十一秒【小餘八三】即乙角度
亦即己丑弧度次以半周
天一百八十度化作六十
四萬八千秒為一率半周
率三一四一五九二六【小餘
五】為二率乙角度分化作
二十一萬九千零三十一
秒【小餘八三】為三率求得四率
一○六一八九六二【小餘七六
六一一一九】為已丑弧線與已
乙半徑一千萬相乘折半
得五三○九四八一三八
三○五五九為乙丑已分
平圓面積次以撱圓大徑
一千萬為一率小徑九九
九八五七一【小餘八五】為二率
乙丑己積為三率求得四
率五三○八七二三一○
九四七二二為乙壬已分
撱圓面積次以甲乙一六
九○○○與壬子八七三
一五六二【小餘二五】相乘折半
得七三七八一七○一○
一二五為壬乙甲三角積
與乙壬己積相加得五三
八二五○四八一○四八
四七即甲壬己分撱圓面
積以一度之面積定率八
七二五三九九九五二二
九除之得六十一度六八
七七【小餘七二】收作六十一度
四十一分一十五秒五十
八微即實行距最高後六
十度時之平行度也若設
平行求實行亦可以所得
之平行轉相比例然必累
求累較方得恰合【一率兩設平行
較二率兩設實行較三率今設平行較四率今求實
行較】法屬繁難故兹不載
次設以積求角之法如太
陽在辛甲辛丁分撱圓面
積為平行距最卑後一度
求甲角實行若干度分法
以甲丁最卑距地心九八
三一○○○【乙丁一千萬減甲乙兩心
差一六九○○○餘甲丁】自乘得九六
六四八五六一○○○○
○○為一率中率半徑九
九九九二八六自乘得九
九九八五七一八四八○
一九一【即大徑與小徑相乘之數】為二
率甲辛丁一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六七七四二○○三
以一度之面積八七二五
三九九九五二二九除之
得一度二分四秒【小餘三○】為
甲角度即平行距最卑後
一度時之實行度也盖以
甲為心以中率為半徑作
弧將甲丁線引長至壬甲
辛線引長至癸則甲壬甲
癸皆為中率甲壬癸分平
圓面積與一度之面積為
比例即得甲角而甲辛丁
分撱圓面與甲壬癸分平
圓面為同式形【甲辛長於甲丁然為
數無多故為同式形】以甲丁自乘正
方積與甲壬自乘正方積
之比即同於甲辛丁積與
甲壬癸積之比【凡同式形兩面積之
比同於相當界所作正方形之比見幾何原本八卷
第九節】故先比例得甲壬癸
積以一度之面積除之而
得甲角也【捷法以甲丁自乘方積除甲壬
自乘方積即得甲角盖以一度面積為三率與二率
相乘又以一度面積除今省一乘則并省一除也】又如太陽在子甲子丁分
撱圓面積為平行距最卑
後二度求子甲丁角實行
若干度分則先求平行距
最卑後一度時日距地心
之甲辛線將甲辛線引長
至丑自丙作丙丑垂線成
甲丑丙辛丑丙兩勾股形
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒【小餘三○】之
正弦一八○五四九【小餘五五】為二率甲丙邊三三八○
○○為三率求得四率六
一○二【小餘五七】為丙丑邊又
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒【小餘三○】之
餘弦九九九八三七○【小餘
一三】為二率甲丙邊為三率
求得四率三三七九四四
【小餘九一】為甲丑邊乃以丙丑
為勾自乘以甲丑與丙辛
甲辛兩邊和二千萬相加
得二○三三七九四四【小餘
九一】為股弦和除之得一【小餘
八三】為股弦較與股弦和相
加折半得一○一六八九
七三【小餘三七】為辛丙弦與丙
辛甲辛兩邊和二千萬相
減餘九八三一○二六【小餘
六三】為甲辛日距地心線次
以甲辛子形與甲癸寅形
為比例以甲辛邊自乘得
九六六四九○八四五九
九七六九為一率甲癸中
率自乘得九九九八五七
一八四八○一九一為二
率甲子辛一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六二八五一七六九
為甲癸寅分平圓面積以
一度之面積除之得一度
二分四秒【小餘二八】即癸甲寅
角與先得之癸甲壬角一
度二分四秒【小餘三○】相加得
二度四分八秒【小餘五八】為子
甲丁角即平行距最卑後
二度時之實行度也此所
求之實行用求積法反求
之少半秒強因日距地心
線自最卑丁以漸而長中
距戊為適中至最高巳而
止今所用一率微小故所
得四率微大若每分遞算
自得密合然須逐一先求
日距地心線若積度多者
則須合前法而兼用之故
又設後法
次設借積求積之法如平
行距最卑後四十五度求
實行若干度分先從本天
心設辛乙丁角為四十五
度則乙壬丁積即為分撱
圓四十五度之面積三九
二六四二九九七八五二
九二【將撱圓全積八分之得乙壬丁積數】求
得壬乙丁角為四十四度
五十九分四十五秒【小餘二七
法見前】次與乙壬平行作丙
癸線使丙角與壬乙丁角
等自甲至癸作甲癸線此
甲癸線所截甲癸丁分撱
圓面積若與乙壬丁積等
則癸甲丁角即為平行距
最卑後四十五度之實行
度乃用甲丙癸三角形求
癸甲丁角以半徑一千萬
為一率丙角正弦七○七
○五六二【小餘七六】為二率甲
丙三三八○○○為三率
求得四率二三八九八五
【小餘○二】為甲子垂線又以半
徑一千萬為一率丙角餘
弦七○七一五七二【小餘七七】為二率甲丙邊為三率求
得四率二三九○一九【小餘
一六】為丙子分邊次以甲子
為勾自乘以丙子與丙癸
甲癸兩邊和二千萬相減
餘一九七六○九八○【小餘
八四】為股弦和除之得二八
九○【小餘二三】為股弦較與股
弦和相加得一九七六三
八七一【小餘○七】折半得九八
八一九三五【小餘五四】為甲癸
邊次以甲癸邊為一率甲
子垂線為二率半徑一千
萬為三率求得四率二四
一八四○【小餘二九】檢正弦得
一度二十三分八秒【小餘七九】即癸角度與丙角相加得
四十六度二十二分五十
四秒【小餘○六】即癸甲丁角度
【用切線分外角法得數較捷因癸角度小比例得甲
癸線難得確凖故用垂線法】然甲癸線
所截甲癸丁分撱圓面積
比所設乙壬丁四十五度
之面積小一甲乙丑積與
寅壬癸積等【甲癸丁積比乙壬丁積多
一卯壬癸積少一甲乙卯積而甲乙與寅癸等甲卯
與卯癸等乙卯與卯寅等卯壬與卯丑等故甲乙卯
積與寅癸卯積等卯壬癸積與卯甲丑積等以多補
少尚少一甲乙丑積與寅壬癸積相等也】乃用
前角求積法以半徑一千
萬為一率甲角四十六度
二十二分五十四秒【小餘○六】之正弦七二三九五一三
【小餘六○】為二率甲癸邊為三
率求得四率七一五四○
四○【小餘六七】即癸辰邊次以
撱圓小半徑九九九八五
七一【小餘八五】為一率大半徑
一千萬為二率癸辰邊為
三率求得四率七一五五
○六二【小餘五二】即己辰邊檢
正弦得四十五度四十一
分四秒【小餘九四】即巳乙丁角
度亦即巳丁弧度次以半
周天一百八十度化作六
十四萬八千秒為一率半
周率三一四一五九二六
【小餘五】為二率巳丁弧度分
化作一十六萬四千四百
六十四秒【小餘九四】為三率求
得四率七九七三四八五
【小餘二八八三七四八】為巳丁弧線
與半徑一千萬相乘折半
得三九八六七四二六四
四一八七四為乙巳丁分
平圓面積次以撱圓大半
徑一千萬為一率小半徑
九九九八五七一【小餘八五】為
二率乙巳丁分平圓面積
為三率求得四率三九八
六一七三二七七五三六
七為乙癸丁分撱圓面積
内減所設乙壬丁分撱圓
四十五度之面積餘五九
七四三二九九○○七五
為乙癸壬積次以癸辰邊
七一五四○四○【小餘六七】與
癸寅邊一六九○○○相
乘折半得六○四五一六
四三六六一五為乙癸寅
積内減乙癸壬積餘七○
八三四四六五四○為寅
壬癸積與甲乙丑積等即
甲癸丁積小於乙壬丁積
之較【或於乙癸丁積内先減甲乙癸積得甲癸
丁積再與乙壬丁積相減得數亦同】夫甲癸
丁積既小於乙壬丁積則
是甲癸丁積不足四十五
度而平行距最卑後四十
五度時太陽必仍在癸點
之前如午則甲癸午積與
寅壬癸積等甲午丁為分
撱圓四十五度之面積與
乙壬丁積等實行午甲丁
角比癸甲丁角尚大一午
甲癸角乃用前積求角法
將甲癸線引長至未甲午
線引長至申甲未甲申皆
為中率半徑成甲未申分
平圓面與甲癸午為同式
形以甲癸自乘得九七六
五二六五○○一六七一
五為一率甲未中率自乘
得九九九八五七一八四
八○一九一為二率甲癸
午積七○八三四四六五
四○為三率求得四率七
二五二六八○七一六為
甲未申積以撱圓一秒之
面積二四二三七二二二
一除之得二十九秒【小餘九二】為未甲申角【即癸甲午角】與癸
甲丁角四十六度二十二
分五十四秒【小餘○六】相加得
四十六度二十三分二十
三秒【小餘九八】為午甲丁角即
平行距最卑後四十五度
時之實行度也此法乃合
前二法而兼用之而午甲
癸角止三十秒甲癸甲午
二線相差無多得數為密
其所以先設辛乙丁角為
四十五度乙壬丁積為四
十五度而求壬乙丁角以
為丙角者第借積以比其
大小耳究之撱圓面積逐
度皆有成數原不待求且
先求壬乙丁角為丙角而
求甲癸丁積又與所設之
乙壬丁積相差不遠則併
先求壬乙丁角亦屬可省
詳後法
又法逕設丙角為四十五
度依前法求得甲癸線九
八八一九四四【小餘二八】癸甲
丁角四十六度二十三分
九秒【小餘一四】甲癸丁積三九
二六○七九四六七九三
四八與四十五度撱圓積
三九二六四二九九七八
五二九二相減餘三五○
五一○五九四四為甲癸
丁積小於四十五度平行
積之較即知平行四十五
度時太陽在癸點之前如
午乃以甲癸自乘得九七
六五二八二二七五三○
二五為一率中率自乘方
九九九八五七一八四八
○一九一為二率積較為
三率【即甲癸午積】求得四率三
五八八八四一八四一為
甲未申分平圓面積以一
秒之面積二四二三七二
二二一除之得一十四秒
【小餘八一】為未甲申角【即癸甲午角】與癸甲丁角四十六度二
十三分九秒【小餘一四】相加得
午甲丁角為四十六度二
十三分二十三秒【小餘九五】即
平行距最卑後四十五度
時之實行度此法得數與
前同而即以平行積度為
丙角較前法為省便也
又如平行距最卑後九十
度求實行若干度分則先
設丙角為九十度作丙丑
甲丑二線成甲丙丑勾股
形依法求得甲丑線一○
○○二八五六【小餘一】丑甲
丁角九十一度五十六分
一十一秒【小餘○九】甲丑丁積
七八五二八七六○一八
三六九五與九十度撱圓
積七八五二八五九九五
七○五八四相減餘一六
○六一三一一一為甲丑
丁積大於九十度平行積
之較即知平行九十度時
太陽在丑點之後如卯乃
依中率半徑截甲卯線於
辰截甲丑線於巳成甲辰
巳分平圓面與甲卯丑為
同式形以甲丑自乘得一
○○○五七一三○一五
七三○七為一率中率自
乘方九九九八五七一八
四八○一九一為二率積
較為三率【即丑甲卯積】求得四
率一六○四九八四八○
為甲辰巳分平圓面積以
一秒之面積二四二三七
二二二一除之得百分秒
之六六為辰甲已角【即丑甲卯
角】與丑甲丁角九十一度
五十六分一十一秒【小餘○九】相減餘九十一度五十六
分一十秒【小餘四三】為卯甲丁
角即平行距最卑後九十
度時之實行度也
又如平行距最卑後一百
二十度求實行若干度分
則先設丙角為一百二十
度作丙寅甲寅二線成甲
丙寅三角形依法求得甲
寅線一○○八六六二四
【小餘一三】寅甲丁角一百二十
一度三十九分四十六秒
【小餘六九】甲寅丁積一○四七
○七九九○六四九五○
六與一百二十度之撱圓
積一○四七○四七九九
四二七四四六相減餘三
一九一二二二○六○為
甲寅丁積大於一百二十
度平行積之較即知平行
一百二十度時太陽在寅
點之後如辰乃依中率半
徑截甲寅線於巳截甲辰
線於午成甲巳午分平圓
面與甲寅辰為同式形以
甲寅邊自乘得一○一七
三九九八六三三九八九
八為一率中率自乘方九
九九八五七一八四八○
一九一為二率積較為三
率【即甲寅辰積】求得四率三一
三六一九七八九一為甲
已午積以一秒之面積二
四二三七二二二一除之
得一十二秒【小餘九四】為巳甲
午角【即寅甲辰角】與寅甲丁角
一百二十一度三十九分
四十六秒【小餘六九】相減餘一
百二十一度三十九分三
十三秒【小餘七五】為辰甲丁角
即平行距最卑後一百二
十度時之實行度也右借
積求積之法最為精密而
理亦易曉然須乘除比例
十數次推算則屬繁難故
又設後法
次設借角求角之法如太
陽平行距最卑後四十五
度求實行若干度分先從
本天心設丁乙辛角為四
十五度則乙壬丁分撱圓
面積亦為四十五度次將
丁乙辛角加癸乙子撱圓
差角【九十度以内大一撱圓差角九十度以外
小一撱圓差角解見後】以撱圓小半
徑九九九八五七一【小餘八五】為一率大半徑一千萬為
二率所設丁乙辛角四十
五度之正切一千萬為三
率求得四率一○○○一
四二八【小餘三五】為丁乙癸角
之正切檢表得四十五度
○分一十四秒【小餘七三】即丁
乙癸角度次與乙癸平行
作丙丑線自甲作甲丑線
則丙角與丁乙癸角等而
甲丑丁積為分撱圓四十
五度之面積與乙壬丁積
等是為平行丑甲丁角即
為實行乃將丙丑線引長
至寅使丑寅與甲丑等則
丙寅為二千萬【甲丑丙丑共二千萬
丑寅既與甲丑等故丙寅亦二千萬】又自甲
至寅作甲寅線成甲寅丙
三角形用切線分外角法
求得寅角四十一分三十
四秒【小餘七四】倍之得一度二
十三分九秒【小餘四九】即甲丙
丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以
甲丑丙角為外角與甲寅二内角等丑寅既與甲丑
等則甲角必與寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】與丙角四十五度○分一
十四秒【小餘七三】相加得四十
六度二十三分二十四秒
【小餘二二】為丑甲丁角度【丑甲丁角
為丑甲丙角之外角與丙丑二内角等故以丑角與
丙角相加得丑甲丁角】即平行距最
卑後四十五度時之實行
度也然則何以設丙角比
平行積度大一撱圓差角
而甲丑丁積即與平行積
度相等也蓋與丙丑平行
之乙癸線截本天於卯所
截之乙卯丁積比甲丑丁
積多一甲乙巳形【乙卯丁積比甲
丑丁積少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑與甲辰
等辰卯與己辰等辰丑卯積與辰甲巳積等以多補
少尚多一甲乙巳積也】此甲乙巳形
之積與癸午倍撱圓差乘
乙未餘弦折半之乙癸午
三角形積等【癸子辛壬皆撱圓差而辛
壬微小於癸子子午又微小於辛壬然為數無多故
謂癸午為倍差】亦即與乙卯壬積
等【以卯癸子補子壬午弧内弧外所差無多故謂
相等】夫乙卯丁積比乙壬丁
積多一乙卯壬形比甲丑
丁積多一甲乙巳形甲乙
已積既與乙卯壬積等則
甲丑丁積必與乙壬丁積
等而乙壬丁為分撱圓四
十五度之面積辛乙丁角
為四十五度之角癸乙丁
角比辛乙丁角原大一撱
圓差角丑丙丁角又原與
癸乙丁角等故設丙角比
平行積大一撱圓差角而
甲丑線所截撱圓積即與
平行積相等也然則又何
以知甲乙巳積與乙癸午
積相等也試以乙丁大半
徑作乙丁申酉正方形又
以乙戊小半徑作乙戊戌
亥正方形兩積相減餘酉
申丁亥戌戊磬折形積與
兩心差自乘之甲乙乾坎
正方積等【乙丁與甲戊等為弦乙戊為股
甲乙為勾股弦兩方相減與勾方等】斜分而
半之則乙甲坎勾股積即
與酉申戌戊斜尖長方積
等而申艮倍撱圓差與酉
申相乘折半之乙申艮三
角積原與酉申震戊長方
積等【乙申艮三角形與酉申震戊長方形同以
酉申為高而申艮為申震之一倍以申艮與酉申相
乘折半得乙申艮三角積故與酉申震戊長方積等】比酉申戌戊斜尖長方積
僅多申震戌一小勾股積
則借乙申艮三角積為與
乙甲坎勾股積相等可也
又以方為斜截丁辛弧為
四十五度乙辛與乙丁等
辛巽為四十五度之正弦
辛離為四十五度之餘弦
依乙戊小徑截乙辛線於
坤依乙甲兩心差截乙辛
線於兑與辛巽平行作坤
亢兑氐二線與辛離平行
作坤房兑尾二線所成正
方各為前圖正方積之一
半則於離辛巽乙正方形
内減房坤亢乙正方形餘
離辛巽亢坤房磬折形積
亦與乙尾兑氐正方積等
乙兑氐勾股積亦與離辛
坤房斜尖長方積等而辛
箕倍撱圓差乘辛離餘弦
折半之乙辛箕三角積原
與離辛壬房長方積等【辛壬
為四十五度之撱圓差辛箕為倍差與辛離餘弦相
乘折半得乙辛箕積故與離辛壬房長方積等】比
離辛坤房斜尖長方積僅
多辛壬坤一小勾股積則
借乙辛箕三角積為與乙
兑氐勾股積相等亦可也
由此推之逐度之正弦餘
弦所成之勾股雖非正方
而斜弦不改則各數比例
皆同試自與丙丑平行之
乙癸線所截之癸點作癸
未正弦癸斗餘弦又依乙
戊小徑截乙癸線於牛作
牛女牛虚二線又依甲乙
兩心差截乙癸線於水作
水火水金二線皆相平行
則於斗癸未乙長方形内
減去女牛虚乙長方形餘
斗癸未虚牛女磬折形積
亦與金水火乙長方積等
乙水火勾股積亦與斗癸
牛女斜尖長方積等而癸
午倍撱圓差乘癸斗餘弦
【與乙未等】折半之乙癸午三角
積原與斗癸子女長方積
等【癸子為撱圓差癸午為倍差與癸斗餘弦相乘
折半得乙癸午積故與斗癸子女長方積等】比
斗癸牛女斜尖長方積僅
多癸牛子一小勾股積則
借乙癸午積為亦與乙水
火勾股積等而甲乙土勾
股與乙水火勾股為相等
形【同用一乙角土角與火角同為直角而甲乙與
乙水等故三邊及面積皆相等】比甲乙巳
積僅多甲巳土一小弧矢
積其差只在微纎之間故
謂甲乙巳積與乙癸午積
相等也此法所得實行較
前法多百分秒之二十四
盖乙卯丁積比乙壬丁積
多乙卯壬積實與甲乙土
積等而比甲丑丁積僅多
甲乙巳積則是甲丑丁積
比乙壬丁四十五度積為
稍大故所得實行丑甲丁
角亦稍大計其所大之數
適與甲巳土弧矢積度相
去不遠至於以乙癸午三
角積為與斗癸牛女斜尖
長方積等其數微多【多癸牛子
勾股積】以癸午為倍撱圓差
其數微少然其多少之差
約足相抵可不計也
又如太陽平行距最卑後
九十度求實行若干度分
先從本天心設丁乙戊角
九十度則乙戊丁分撱圓
面積亦為九十度次與乙
戊平行作丙癸線自甲至
癸作甲癸線則丙角與戊
乙丁角等而甲癸丁分撱
圓面積即為九十度與乙
戊丁積等【九十度無撱圓差解見後】是
為平行癸甲丁角即為實
行乃將丙癸線引長至子
使癸子與甲癸等則丙子
為二千萬又自甲至子作
甲子線成甲丙子三角形
求得子角五十八分五秒
【小餘五五】倍之得一度五十六
分一十一秒【小餘一○】即甲丙
癸形之癸角度與丙角九
十度相加得九十一度五
十六分一十一秒【小餘一○】為
癸甲丁角度即平行距最
卑後九十度時之實行度
也盖乙戊丁為撱圓四分
之一其積為九十度戊乙
丁角亦九十度【積度與角度同為一
線故無撱圓差】丙角既與乙角等
甲癸丁積又與乙戊丁積
等【甲癸丁積比乙戊丁積多一丑癸戊形少一甲
乙丑形而甲乙丑積與丑癸寅積等是丑癸戊形比
甲乙丑形僅多癸戊寅一小弧矢積故謂丑癸戊積
與甲乙丑積等而甲癸丁積亦謂與乙戊丁積等】故即以平行積度為丙角
而求甲角為實行度也此
法所得實行較前法多百
分秒之六十七盖甲癸丁
積比乙戊丁積多癸戊寅
弧矢積九十度稍大故實
行亦稍大又丙角至九十
度則弧矢之癸寅半弦與
甲乙兩心差相等是為最
長積亦最大故所差最多
過此則所差又漸少矣
又如太陽平行距最卑後
一百二十度求實行若干
度分先從本天心設丁乙
癸角一百二十度則乙子
丁分撱圓面積亦為一百
二十度次將丁乙癸角減
丑乙寅撱圓差角【九十度以外小
一撱圓差角故減】則癸乙已外角
大一撱圓差角以撱圓小
半徑九九九八五七一【小餘
八五】為一率大半徑一千萬
為二率所設癸乙已外角
六十度之正切一七三二
○五○八為三率求得四
率一七三二二九八一【小餘
九八】為己乙寅外角之正切
檢表得六十度○分一十
二秒【小餘七六】即己乙寅外角
度與一百八十度相減餘
一百一十九度五十九分
四十七秒【小餘二四】即寅乙丁
内角度次與乙寅平行作
丙卯線自甲作甲卯線則
丙角與寅乙丁角等甲卯
丁積為分撱圓一百二十
度之面積與乙子丁積等
是為平行卯甲丁角即為
實行乃將丙卯線引長至
辰使卯辰與甲卯等則丙
辰為二千萬又自甲至辰
作甲辰線成甲丙辰三角
形求得辰角四十九分五
十三秒【小餘四六】倍之得一度
三十九分四十六秒【小餘九二】即甲丙卯形之卯角度與
丙内角一百一十九度五
十九分四十七秒【小餘二四】相
加得一百二十一度三十
九分三十四秒【小餘一六】為卯
甲丁角度即平行距最卑
後一百二十度時之實行
度也盖與丙卯平行之乙
寅線截本天於巳所截之
乙巳丁積比甲卯丁積小
一卯己午形與甲乙未形
等【乙巳丁積比甲卯丁積少一卯己酉形多一甲
乙酉形而甲乙酉形與卯午酉形等以多補少仍少
一卯巳午形又將乙己線引長至未使酉未與酉巳
等而酉甲原與酉卯等卯午原與甲乙等故作甲未
弧則卯巳午積即與甲乙未積等】此甲乙
未形之積與寅申倍撱圓
差乘乙戌餘弦折半之乙
寅申三角形積等【寅丑癸子皆撱
圓差而癸子微小於寅丑丑申又微小於癸子然為
數無多故謂寅申為倍差與乙戌餘弦相乘折半得
積與甲乙亥勾股積等比甲乙未積僅小甲未亥一
小弧矢積故借甲乙未積為與乙寅申積等】亦
即與乙子巳積等【與前法同】夫
乙巳丁積比乙子丁小一
乙子巳積比甲卯丁積小
一甲乙未積甲乙未積既
與乙子巳積等則甲卯丁
積必與乙子丁積等而乙
子丁為分撱圓一百二十
度之面積癸乙丁角為一
百二十度之角寅乙丁角
比癸乙丁角原小一撱圓
差角卯丙丁角又原與寅
乙丁角等故於平行一百
二十度内減一撱圓差角
為丙角其甲卯線所截撱
圓積即與平行度相等而
求得甲角為實行度也此
法所得實行較之前法多
百分秒之四十一盖乙巳
丁積比乙子丁積少乙子
己積僅與甲乙亥積等而
比甲卯丁積則少甲乙未
積是甲卯丁積比乙子丁
一百二十度積為稍大故
所得實行卯甲丁角亦稍
大然所差最大者不過半
秒有奇不為不密而法最
為簡便故日躔求實行用
此法也
求均數
均數者盈縮差也最卑前後兩象限為行盈最高前後兩象限為行縮然盈縮差自最卑最高起算最高前一象限雖行縮而實行仍大於平行故最卑後半周皆為加差最卑前一象限雖行盈而實行仍小於平行故最高後半周皆為減差上編言之詳矣今求盈縮差用前借角求角之法與不同心天之法畧同但多一撱圓差耳故先以平行求得對倍兩心差之角又以平行求得撱圓差角與對倍兩心差之角相加減而得均數加減之法具詳於左
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚為本天辛
壬癸子為黄道以行度言
之太陽在最卑前後當子
辛辛壬兩象限其本天平
行丑甲寅丁面積未及半
周而以黄道度計之巳見
自子行至壬故為行盈太
陽在最高前後當壬癸癸
子兩象限其本天平行寅
甲丑已面積巳過半周而
以黄道度計之止見自壬
行至子故為行縮以盈縮
差言之太陽在最卑丁是
為初宫初度當黄道之辛
甲丁辛成一直線無盈縮
差太陽在最高已是為六
宫初度當黄道之癸甲癸
己成一直線亦無盈縮差
而自最卑後行丁寅戊巳
半周實行皆大於平行如
平行至寅所截甲寅丁平
行積度畧與寅丙丁角度
等【爭一撱圓差角故謂畧等】自地心甲
視之巳當黄道之壬壬甲
辛角必大於寅丙丁角又
如平行至戊所截之甲戊
丁平行積度畧與戊丙丁
角度等自地心甲視之己
當黄道之卯卯甲辛角必
大於戊丙丁角故皆為加
差自最高後行已庚丑丁
半周實行皆小於平行如
平行至庚所截甲庚已平
行積度畧與庚丙己角度
等自地心甲視之方當黄
道之辰辰甲癸角必小於
庚丙己角又如平行至丑
所截甲丑巳平行積度畧
與丑丙巳角度等自地心
甲視之方當黄道之子子
甲癸角必小於丑丙已角
故皆為減差此盈縮之理
與不同心天之理同至求
盈縮差之法當先以平行
積度加減撱圓差角【九十度以
内大一撱圓差角則加九十度以外小一撱圓差角
則減正九十度無差角解見前】為所設之
丙角而求對倍差之角與
所設之丙角相加得實行
以平行與實行相減乃為
均數【解見前借角求角法】然其數奇
零不便立算故先以平行
求得對倍差之角而後加
減撱圓差角為尤便也如
設太陽在己甲己丁分撱
圓面積為平行距最卑後
六十度知己丙甲角度比
所設之甲己丁平行積度
大一撱圓差角則於己丙
甲角内減未丙午撱圓差
角餘午丙甲角必為六十
度而與甲巳丁平行積度
相等故先設午丙甲角為
六十度用甲丙午三角形
求得對甲丙倍差之午角
一度四十一分二十九秒
與平行午丙甲角相加則
得午甲丁角然太陽原在
已當黄道之申實行申甲
辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚
大一巳甲午角故又求得
未丙午撱圓差角一十三
秒與巳甲午角等【巳甲午角與未
丙午角同當巳午弧而甲午線短於丙午則角畧大
然所差甚微故為相等】與午角相加
【九十度以内大一撱圓差角故加】得一度
四十一分四十二秒是為
均數為加差以加於平行
而得實行也若太陽在酉
當黄道之戌甲酉巳分撱
圓面積爲平行距最高後
一百二十度而距最卑前
六十度則對甲丙倍差之
亥角與午角等乾丙亥撱
圓差角亦與未丙午角等
但其均數爲減差以減於
平行而得實行也
如設太陽在亢甲亢丁分
撱圓面積爲平行距最卑
後一百二十度知亢丙甲
角度比所設之甲亢丁平
行積度小一撱圓差角則
於亢丙甲角加房丙氐撱
圓差角得氐丙甲角必為
一百二十度而與甲亢丁
平行積度相等故先設氐
丙甲角為一百二十度用
甲丙氐三角形求得對甲
丙倍差之氐角一度三十
九分四十七秒與平行氐
丙甲角相加則得氐甲丁
角然太陽原在亢當黄道
之尾實行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲
亢角故又求得房丙氐撱
圓差角一十三秒與氐甲
亢角等【氐甲亢角與房丙氐角同當亢氐弧
而甲氐線長於丙氐則角畧小然所差甚微故為相
等】與氐角相減【九十度以外小一撱
圓差角故減】餘一度三十九分
三十四秒是為均數為加
差以加於平行而得實行
也若太陽在斗當黄道之
牛甲斗己分撱圓面積為
平行距最高後六十度則
對甲丙倍差之女角與氐
角等女丙虛撱圓差角亦
與房丙氐角等但其均數
為減差以減於平行而得
實行也用此法求得最卑
後半周之加差即得最高
後半周之減差列爲表此
法與以丙爲心作不同心
天之法畧同但多一撱圓
差又平圓之半徑爲一千
萬撱圓則自甲丙兩心出
線合於圓界共爲二千萬
耳而太陽距地高卑之差
止及兩心差之半與均輪
之法不謀而合故撱圓之
法正所以合不同心天與
本輪均輪而一之也
御製歷象考成後編卷一
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成後編>
